[Править]Охлаждение тела

Пусть   — температура тела,   — температура окружающей среды ( ). Пусть   — количество теплоты,   — удельнаятеплоёмкость. Тогда количество теплоты передаваемое окружающей среде до выравнивания температур выражается формулой  , или, в дифференциальной форме,  . С другой стороны скорость отдачи тепла можно выразить в виде  , где   — некий коэффициент пропорциональности. Исключая из этих двух уравнений   получаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

23Определение функции нескольких переменных. Переменная z называется  функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значенииx и y по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие определенное  значение z. Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, - областью значений функции z. Переменные x и  называются аргументами функции.  Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных  можно рассматривать как функцию точки M  , либо как скалярную функцию векторного аргумента    . Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyzсоответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных  . Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть. Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных

25Полный дифференциал.        .                                              (1)       Если приращение (1) можно представить в виде       ,                                                        (2) Где Аи В не зависят от   и  , а   и   стремятся к нулю при стремлении к нулю  и  , то функция   называетсядифференцируемой в точке  , а линейная часть   приращения функции (т.е. та часть , которая зависит от    и   линейно) называется полным дифференциалом (или простодифференциалом) этой функции в точке   и обозначается символом  :                                     .                                                                      (3)       Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке  , то она в этой точке непрерывна.       Действительно, если в точке   функция   дифференцируема, то для этой точки    представимо в форме (2), откуда следует, что                                      ,  а это и означает, что в точке   функция   непрерывна.       Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).       В самом деле, пусть функция   в точке   дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем  , имеем:                                       . Деля на    и переходя к пределу при  , получаем:                                       . Это означает, что в точке   существует частная производная функции   по   и  .                                                                                  (4)       Аналогично доказывается, что в точке      существует частная производная                                                                  .                                                                            (5)       Используя формулы  (4) и (5), можно переписать выражение (3)              .        Если положить   , то   , т.е.  . Аналогично, полагая  , получим  . Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: