15 Вопрос. Законы дискретных случайных величин и их числовые характеристики: биномиальное, Пуассона, геометрическое, гипергеометрическое.

Биномиальным называют законы распределения случайной величины Х числа появления некоторого события в n опытах если вероятность р появления события в каждом опыте постоянна

Сумма вероятностей представляют собой бином Ньютона

Для определения числовых характеристик в биномиальное распределение подставить вероятность которая определяется по формуле Бернули.

При биномиальном распределении дисперсия равна мат. Ожиданию умноженному на вероятность появления события в отдельном опыте.

15. Распределение Пуассона Когда требуется спрогнозировать ожидаемую очередь и разумно сбалансировать число и производительность точек обслуживания и время ожидания в очереди. Пуассоновским называют закон распределения дискретной случайной величины Х числа появления некоторого события в n-независимых опытах если вероятность того, что событие появится ровно m раз определяется по формуле.

a=np

n-число проведенных опытов

р-вероятность появления события в каждом опыте

В теории массового обслуживания параметр пуассоновского распределения определяется по формуле

а=λt , где λ - интенсивность потока сообщений t-время

Необходимо отметить, что пуассоновское распределение является предельным случаем биномиального, когда испытаний стремится к бесконечности, а вероятность появления события в каждом опыте стремится к 0. Пуассоновское распределение является единичным распределением для которого такие характеристики

Закон распределения , где p – вероятность успеха в единичном испытании, называется геометрическим распределением вероятностей и обозначается G_p или G(p). Так как вероятность неудачи в единичном испытании обозначается как q = (1 − p), то закон распределения можно переписать в более сжатой форме p(n) = pq^{n − 1},n = 1,2,3,....

Математическое ожидание и дисперсия геометрического распределения соответственно равны:

, где q = 1 − p

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения». Пусть величина τобозначает, скажем, время безотказной работы (измеряемое целым числом часов) некоторого устройства. Предположим, что для величины τ вероятность принять любое свое значение n в точности равна pq^{n − 1}. Справедливо следующее утверждение:

Теорема. Пусть P(τ = n) = pq^{n − 1} для любого . Тогда для произвольных

P(τ > k + n | τ > k) = P(τ > n)

Данному равенству можно придать следующее звучание: если известно, что устройство уже проработало без отказа k часов, то вероятность ему работать еще не менее n часов точно такая же, как вероятность проработать не менее n часов для нового устройства.

Геометрическое распределение неустойчиво.

Многие задачи комбинаторики могут быть сведены к следующей модели. В генеральной совокупности из n элементов имеется элементов красного цвета и черного. Случайным образом выбирается группа из r элементов. Найдем вероятность того, что так выбранная группа будет содержать ровно k красных элементов. Здесь k может быть любым целым числом между нулем и наименьшим из чисел и r.

Для того, чтобы найти , заметим, что выбранная группа состоит из k красных и r-k черных элементов. Красные элементы могут быть выбраны различными способами, а черные способами. Так как любой выбор красных элементов может комбинироваться с любым выбором черных, имеем … (1).

Определенный таким образом набор вероятностей называется гипергеометрическим распределением. Используя формулу

можно переписать (1) в виде

… (2).

Замечание. Вероятности определены только для k, не превосходящим r или , но, так как при b>a , из формулы (1) и (2) следует, что = 0, если либо k> , либо k>r. Следовательно, определения (1) и (2) могут использоваться для всех при условии, что соотношение = 0 интерпретируется как невозможность такого выбора.

Примеры. Проверка качества. При контроле качества продукции выборочной проверке подвергается партия из n изделий. Дефектные изделия в партии играют роль красных элементов. Их число , конечно, не известно. Производится выборка объема r и определяется число k дефектных изделий в ней. Тогда формула (1) позволяет нам сделать выводы относительно истинного значения .