Передумови застосування методу найменших квадратів (1мнк)

Нехай економетрична модель у матричній формі має вигляд

(1)

де Y — вектор значень залежної змінної;

X — матриця незалежних змінних розміром (n — число спостережень, m — кількість незалежних змінних);

A — вектор оцінок параметрів моделі;^*

u — вектор залишків.

Щоб застосувати 1МНК для оцінки параметрів моделі, необхідне виконання таких умов:

1) математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто

(2)

2) значення u_i вектора залишків u незалежні між собою і мають постійну дисперсію, тобто

(3)

де Е — одинична матриця;

3) незалежні змінні моделі не пов’язані із залишками:

4)

4) незалежні змінні моделі утворюють лінійно незалежну систему векторів, або, іншими словами, незалежні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто :

(5)

,

де X_k — k-й вектор матриці пояснювальних змінних; X_j — j-й вектор цієї матриці пояснювальних змінних X, .

Оператор оцінювання 1мнк

1Скористаємося моделлю (1), для якої виконуються умови (2)–(5), щоб оцінити параметри методом 1МНК.

Рівняння (1) подамо у вигляді: . Тоді суму квадратів залиш­ків u можна записати так:

Продиференціюємо цю умову за А і прирівняємо похідні до нуля:

або

(6)

Тут — матриця, транспонована до матриці незалежних змінних X.

Звідси

(7)

Рівняння (6) дає матричну форму запису системи нормальних рівнянь, а формула (7) показує, що значення вектора А є розв’язком системи таких рівнянь.

2 помноживши рівняння (1) зліва спочатку на , а потім на матрицю , дістанемо:

Оскільки то справджується рівність

.

Згідно з (4), коли , , отже,

(7)

.

Якщо незалежні змінні в матриці X взяті як відхилення кожного значення від свого середнього, то матрицю називають матрицею моментів.

структура матриці моментів відбиває зв’язки між незалежними змінними. Чим ближчі показники коваріацій до величини дисперсій, тим ближчий визначник матриці до нуля і тим гірші оцінки параметрів .

Поняття мультиколінеaрності

Мультиколінеарність означає існування тісної лінійної залежності, або кореляції, між двома чи більше пояснювальними змінними.

Основні наслідки мультиколінеарності.

1. Падає точність оцінювання, яка виявляється так:

а) помилки деяких конкретних оцінок стають занадто великими;

б) ці помилки досить корельовані одна з одною;

в) дисперсії оцінок параметрів різко збільшуються.

2. Оцінки параметрів деяких змінних моделі можуть бути незначущими через наявність їх взаємозв’язку з іншими змінними, а не тому, що вони не впливають на залежну змінну. У такому разі множина вибіркових даних не дає змоги цей вплив виявити.

3. Оцінки параметрів стають досить чутливими до обсягів сукупності спостережень. Збільшення сукупності спостережень іноді може спричинитися до істотних змін в оцінках параметрів.

Ознаки мультиколінеарності

1. Коли серед парних коефіцієнтів кореляції пояснювальних змінних є такі, рівень яких наближається або дорівнює множинному коефіцієнту кореляції, то це означає можливість існування мультиколінеарності. Інформацію про парну залежність може дати симетрична матриця коефіцієнтів парної кореляції або кореляції нульового порядку між пояснювальними змінними:

. (6.1)

Проте коли до моделі входять більш як дві пояснювальні змінні, то вивчення питання про мультиколінеарність не може обмежуватись інформацією, що її дає ця матриця. Явище мультиколінеарності в жодному разі не зводиться лише до існування парної кореляції між незалежними змінними.

Більш загальна перевірка передбачає знаходження визначника (детермі­нанта) матриці r, який називається детермінантом кореляції і позначається . Числові значення детермінанта кореляції задовольняють умову: .

2. Якщо = 0, то існує повна мультиколінеарність, а коли = 1, мультиколінеарність відсутня. чим ближче до нуля, тим певніше можна стверджувати, що між пояснювальними змінними існує мультиколінеарність. Незважаючи на те, що на числове значення впливає дисперсія пояснювальних змінних, цей показник можна вважати точковою мірою рівня мультиколі­неарності.

3. Якщо в економетричній моделі знайдено мале значення параметра при високому рівні частинного коефіцієнта детермінації і при цьому F-критерій істотно відрізняється від нуля, то це також свідчить про наявність мультиколінеарності.

4. Коли коeфіцієнт частинної детермінації , який обчислено для регресійних залежностей між однією пояснювальною змінною та іншими, має значення, яке близьке до одиниці, то можна говорити про наявність мультиколінеарності.

5. Нехай при побудові економетричної моделі на основі покрокової регресії введення нової пояснювальної змінної істотно змінює оцінку параметрів моделі при незначному підвищенні (або зниженні) коефіцієнтів кореляції чи детермінації. тоді ця змінна перебуває, очевидно, у лінійній залежності від інших, які було введено до моделі раніше.