14. Точкове оцінювання

Як і відомо, вибірка х1, х2, х3, ..., хn є реалізацією випадокового вектора (Х1; Х2; ... Хn). Це означає, що кожна числова характеристика вибірки є реалізація випадкової величини, яка від вибірки до вибірки може приймати різні значення і, отже, сама є випадковою. Таку випадкову величину називають вибіркової функцією або статистикою і позначають ã = ã. Цей запис висловлює залежність вибіркової функції від випадкових компонент Хi, i =, вектора (Х1; Х2; ... Хn). Наприклад, вибірковими функціями є середнє арифметичне, статистична дисперсія, мода, медіана.Так як вибіркова статистика величина випадкова, то вона має закон розподіл, що залежить від закону розпаду випадкової величини Х у генеральній сукупності.Нехай потрібно підібрати розподіл для досліджуваної випадкової величини Х за вибіркою х1, х2, х3, ..., хn, витягнутої з генеральної сукупності з невідомою функцією розподілу F (х). Вибравши розподіл (нормальне, біномінальної, показовий або ін), виходячи з аналізу вибірки (наприклад, по вид гістограми або по виду полігону відносних частот), ми за даними вибірки повинні оцінити параметри відповідного розподілу. Наприклад, для нормального розподілу потрібно оцінити параметри m і; для розподілу Пуасона - параметр l і т.д.Вирішення питань про "найкращою оцінкою" невідомого параметра і складає теорію статистичного оцінювання.Вибіркова числова характеристика, що застосовується для отримання оцінки невідомого параметра генеральної сукупності, називається точковою оцінкою.Наприклад, Х - середнє арифметичне, може служити оцінкою математичного сподівання М (Х) генеральної сукупності. В принципі для невідомого параметра а може існувати багато число-вих характеристик вибірки, які цілком слушно для того, щоб служити оцінками. Наприклад, середнє арифметичне, медіана, мода можуть здатися цілком прийнятними для оцінювання математичного сподівання М (Х) сукупності. Щоб вирішити, яка з статистик в даній безлічі найкраща, необхідно визначити деякі бажані властивості таких оцінок, тобто вказати умови, яким повинні задовольняти оцінки.Такими умовами є: незміщеності, ефективності спроможність.Якщо М (ã) = а, то ã називається незміщеної оцінкою а.В інших випадках говорять. Що оцінка зміщена.Незміщеності оцінки означає, що якщо використовувати цю оцінку, то в одних випадках може вийти. Що ми завищуємо шуканий параметр сукупності, в інших - занижуємо. Проте в середньому ми буде "потрапляти в ціль".Так, наприклад, незміщеної оцінкою для математичного сподівання М (Х) = а випадкової величини Х є середня арифметична = ã.

15. Означення 2.3. Оцінкою невідомого параметра побудованою за наслідками незалежних експериментів, здійснених в незмінних умовах, називають вимірну функцію від n аргументів, означену на вибірковому просторі із значеннями в декартовому просторі Rm де m- розмірність параметра.Оцінку, як правило, ми позначатимемо оминаючи вказівку на залежність її від аргументів, але насправді це завжди слід мати на увазі. Так що

Це означення занадто широке, оскільки вектор-функцій від n аргументів існує нескінченно багато. Отже, поняття оцінки вимагає уточнення, спираючись на її бажані якості. Перш за все помічаємо, що, оскільки маємо два види вибірок, слід розрізняти і два види оцінок: теоретичну як функцію від теоретичної вибірки і статистичну як значення теоретичної оцінки за статистичної вибірки Теоретична оцінка сама є випадковою величиною і вести мову про бажану рівність можна лише в деякому "усередненому" розумінні (справді, в лівій частині останньої рівності маємо випадкову величину, а в правій-вектор-константу).

Означення 2.4. Теоретичну оцінку називають незсуненою, якщо її математичне сподівання співпадає з параметром, який підлягає оцінюванню

Властивість незсуненості є бажаною для будь-якої "розумної" оцінки, але її замало, оскільки можна мати безліч функцій, інтеграли від яких співпадають.

Вибірка несе в собі всю інформацію про наслідки статистичних експериментів, тому природно вимагати, щоб з ростом кількості експериментів інформація ставала все більш вичерпною. В означенні 2.3 залежність оцінки від кількості дослідів явно не вказана, але, приймаючи до уваги цю залежність, ми маємо насправді послідовність оцінок де зростання до нескінченності математично означає збільшення обсягу інформації. Ці міркування приводять до наступного означення.

Означення 2.5. Послідовність оцінок називають спроможною за ймовірністю, якщо вона збігається за ймовірністю до параметра, який підлягає оцінюванню, тобто маємо

Зауважимо, що поняття спроможності пов'язане із збіжністю послідовностей випадкових величин, тому можна подібним чином ввести його відповідно до збіжності майже напевне, за розподілом , у середньому будь-якого порядку.

Наведемо декілька прикладів, необхідних для майбутнього викладу.

Підкреслимо, ще раз, що є функція випадкових величин і вибирати її можна різними способами.

Приклад 2.1. (Оцінювання невідомого середнього значення генеральної сукупності).

Нехай маємо генеральну сукупність середнє значення і дисперсія якої існують, причому є невідомий параметр.Розглянемо деякі його оцінки, не цікавлячись спочатку їх походженням. Побудуємо оцінку як функцію від наступним чином:

Така оцінка є незсуненою, оскільки

Вона буде і спроможною за ймовірністю, оскільки

і спроможність випливає з нерівності Чебишова.Якщо ж вибрати функцію від як

вона буде, як легко бачити, незсуненою, але про спроможність не може бути й мови, оскільки її дисперсія постійна, Зрозуміло, що існує безліч незсунених лінійних, отже, простих незсунених оцінок для : досить взяти будь-яку опуклу лінійну комбінацію вибіркових значень, при цьому оцінка буде найкращою в деякому розумінні, про що мова йтиме далі.

Приклад 2.2. (Оцінювання невідомої дисперсії генеральної сукупності)

Зберігаючи умови і позначення попереднього прикладу 2.1, будемо вважати середнє значення генеральної сукупності відомою константою, а дисперсію невідомим параметром, який підлягає оцінюванню. Розглянемо наступну оцінку

Матимемо і запропонована оцінка незсунена.Якщо ж середнє значення генеральної сукупності невідоме, розглядають оцінку .Тепер маємо так що ця оцінка виявляється зсуненою.

16.Незсуненою оцінкою математичного сподівання МХ генеральної сукупності Х є,наприклад,її вибіркове середнє арифметичне .

Застосовується для перевірки статистичних гіпотез .

1)Перевірка гіпотези про рівність математичного сподівання гіпотетичному значенню,при вказаному рівні значущості.

2)Гіпотези про рівність математичних сподівань нормальних генеральних сукупностей Х та Х1.

3)Гіпотези про рівність математичних сподівань двох нормальних генеральних сукупностей,вибірки яких не можна вважати незалежними.

Незсуненою оцінкою дисперсії DX є виправлена вибіркова дисперсія ,яка знаходиться множенням вибіркової дисперсії на множник (поправка Бесселя).

Використовується при перевірці таких статистичних гіпотез:

1)Гіпотеза про рівність дисперсії генеральної сукупності Х гіпотетичному значення,з даним рівнем значущості.

2)Гіпотеза про розподіл генеральної сукупності

17. Нормальний розподіл (розподіл Ґауса) — розподіл ймовірностей випадкової величини, що характеризується густиною ймовірності

де   — математичне сподівання,   — дисперсія випадкової величини.

Центральна гранична теорема стверджує, що нормальний розподіл виникає тоді, коли дана випадкова величина являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, кожна з яких грає в утворенні всієї суми незначну роль. Наприклад, відстань від влучення снаряду гармати до цілі при великій кількостіпострілів характеризується саме нормальним розподілом.

Нормально розподілена випадкова величина позначається так:  .

Якщо генеральна сукупність вимірів нормально розподілена, характеризується ступенем квантування вимірів  , не має систематичних похибок, тоді:

• Довірчий інтервал для величини   виглядатиме так: ^[1][2]

• З урахуванням ступеня квантування середнє значення   визначається з імовірністю ^[3]