4.5.7 Сведение расчета переходных процессов в электронных цепях к расчету цепей по постоянному току

Расчет переходных процессов в электронных цепях в общем случае представляет собой следующий алгоритм:

1. Составление по законам Кирхгофа дифференциальных уравнений (уравнений состоя­ния).

2. Решение дифференциальных уравнений численными методами возможно с аппрокси­мацией на каждом шаге нелинейных характеристик или составление разностных схем.

Прямая реализация указанного алгоритма «в лоб» связана со значительными трудностя­ми. При высоком порядке электронной цепи решение дифференциального уравнения класси­ческим методом затруднительно. Использование численных методов более предпочтительно, т.к. позволяет формализовать 2-ю часть задачи. Однако 1-ая часть — составление системы дифференциальных уравнений осуществляется по-прежнему, вручную. Формализация алго­ритмов составления уравнений состояния для многополюсных элементов со сложной логикой функционирования — задача в общем виде не решаемая. Кроме того, для создания универ­сальных программ расчета электронных схем нежелательно иметь принципиально различаю­щиеся алгоритмы, скажем для расчета переходных процессов, анализа по постоянному току и расчета частотных характеристик.

Существует, однако, другой подход к решению задачи расчета переходных процессов, который основан на замене задачи расчета переходных процессов на решение последова­тельно ряда задач по расчету по постоянному току чисто резистивных электрических цепей, причем неизменной структуры. При этом последовательность действий следующая:

а) аппроксимация дифференциальных уравнений отдельных элементов цепей разност­ными уравнениями, которым можно поставить в соответствие резистивные схемы замещения!

б) Формирование на каждом шаге расчета алгебраических уравнений, соответствующих резистивным цепям.

в) Последовательное решение указанных алгебраических уравнений методами расчета резистивных цепей по постоянному току (узловых потенциалов, обобщенных ветвей, гибридно­го анализа и т.п.).

Очевидно, что из всего базового набора компонентов моделей проблему представляют реактивные компоненты.

Рассмотрим катушку индуктивности L (рис 4.49).

,т di

L — = u

dt

или

—' = -1 • _U

dt L ■

Подобное дифференциальное уравне­ние численным методом может быть решено по-разному. Например, обычным методом Эйлера, следующим образом:

iT(t)

-ГУ-УЛ о UL(t) *

т

\-sJ = i

^un+1

Рис. 4.49

h

о

и

194

h n h

Т.е. вместо емкости можно использовать ветвь вида рис. 4.50.

Таким образом, для расчета очередного шага переходного процесса необходимо рассчи- тать эквивалентную резистивную схему с прежней топологической структурой.

ПРИМЕР

Требуется рассчитать схему с входным воздействием вида g, J(t) (рис. 4.51). Разумеет- ся, можно воздействие преобразовать к виду R, E(t), при этом переход к нему обычен.

Очевидно, что переход к дискретной резистивной схеме замещения имеет вид рис. 4.52, где

n+1

L

с

n+1

J n+1

7 1

n + 1 = |n + ^h • L • ^U П

Как известно из предыдущих курсов, итерационная формула неявного метода Эйлера имеет вид:

¹ n+1

h

L

^Un + 1

(4.12)

Очевидно, для нахождения новой точки in+i (соответствующей времени tn + 1= tn + h), необходимо решить соответствующее алгебраическое уравнение, при этом предполагают, что ток in известен. Но, в соответствии с формулой (4.12), указанное уравнение соответствует но­вой структуре ветви L, в которой приращение тока заменяют дополнительным током (h/L)un+i, т.е. током через эквивалентную проводимость g = h/L, подключенной к узлу схемы вместо индуктивности. Т.о. ветвь с индуктивностью преобразуется к виду рис. 4.49.

Очевидно, что если в схеме имеется несколько подобных компонентов, то структура цепи не изменяется, изменяются лишь параметры проводимости, величины которых, в частности, зависят йот h!

Рассмотрим цепь с конденсатором (рис. 4.50).

я

ic(t)

C

h

c •

dt

или

du dt

1

— • ^C

Uc(t)

^un+1

Рис. 4.50

В соответствии с неявным методом Эйлера, для нахождения un+i необходимо решить уравнение вида:

h

с

n+1

h

^u n + 1

п + 1

или, что то же самое:

C

u + u

C

n+1

L

Y Y Y X .

(£)

uL

J(t)

с

h

'Ln + 1 ¹ L n; g L n + 1

%

^gL(n+1)

^J,Cn + 1

L(n+1)

h

u

P

g

с

C n' g C n + 1

J (t n + 1 )

n+1

Jtn+1

gC(n+1)

C(n+1)

195

u

c

^g

^JLL(n + 1)

Рис. 4.52

s + s L n + 1 Sbn + 1

sLn + 1 sLn + 1 + sCn + 1

1 / V Y V

HL(t)

h_ 2 L h

^J L n + 1 _ ¹ L n + 2 J'^u Ln „ ,,.„

Рис. 4.53

Конденсатор описывается дифференциальными уравнениями вида:

h_

dt ^и ^ ^UCn+^1UCn * 2C

Cn + ,

К h

Jⁿ+¹

^J n + l ^JLn+1

^J Cn + 1 * ^JLn+1

Тогда, очевидно:

Решая последнее уравнение, можно найти узловые напряжения u 1 n+1, U2n+i, а по ним то­ки всех элементов и напряжения на них:

¹Ln+1 = ¹ Ln + ^(u 1 n+1 ^{- u}2n+l) 'gLn+1 ^UCn+1 = ^u 2 n +1

Таким образом, для построения следующего (n+2)-ro шага известны все компоненты:

^lLn+1, ^UCn+1, ^Jn+2 = ^J(tn +2)-

Особое достоинство имеет метод в случае, если расчет схемы ведется с постоянным ша­гом h. Тогда, в случае, разумеется, линейной схемы, элементы матрицы Y не меняются от ша­га к шагу и матрицу не требуется каждый раз перевычислять и обращать!

Мы рассмотрели вариант преобразования схем с реактивными цепями в резистивные дискретные схемы на основе итерационной формулы метода Эйлера.

Рассмотрим метод Рунге-Кутта второго порядка (модифицированный метод Эйлера):

L • ^Л — u l ■ dt

diL 1 — — • ul;

dt L L^L

• - • h 1 / ч

¹ Ln + 1 ~ 'Ln ♦ 2 ' L ' л ^u L n +1 + ^u L n )

h

Ln+1

lr + u r н

^{l n} 2L 2L

Ln+1

Согласно этому методу, эквивалентная схема замещения индуктивности имеет вид рис. 4.53, где gLn+1

iL(t)

^g Ln+1

JJn+

d и

С ^C

du 1

iC или — _C la

2C

2C

¹C n , ' ^u C n . r ^u C n + 1 h h

(

2C

2C

u + • u

Cn , Cn+1

h

Ln+1

Cn + 1

196

Таким образом, опять таки можно представить расчет переходного процесса с помощью анализа дискретной резистивной схемы!

Важным обстоятельством приведенных преобразований является то, что в соответст- вующие эквивалентные схемы замещения входят элементы, величины которых определяются не только номиналами элементов схем, но и параметром расчета (h). Более того, переход стал возможен только благодаря совместному использованию уравнений электрической цепи и ме- тода расчета! Поэтому такие схемы замещения называются синтетическими.

Таким образом, весь аппарат и программное обеспечение, способные автоматически строить матрицу проводимости схемы, могут быть использованы для расчета переходных про- цессов с небольшими изменениями.

Метод дает к тому же преимущество, которое выгодно отличает его от метода переменных состояния: возможность моде- лирования нелинейных элементов схем. Во-первых, при наличии нелинейных эле- ментов можно корректировать матрицу проводимости. Во-вторых, метод синтети- ческих схем позволяет для нелинейных це- пей выбрать переменные, обеспечивающие

однозначное решение. Непосредственное использование метода переменных состояния в электрических цепях, где резистивные элементы обладают нелинейными свойствами, может привести к неоднозначности решения, т.к. переменные состояния (токи через индуктивные элементы и напряжения на емкостных) не могут быть выбраны из условия обеспечения одно- значности решений задачи. Например, для цепи рис. 4.55, а, выбор в качестве искомой пере- менной тока через индуктивный элемент приведет к неоднозначному решению задачи, т.к. при токе iL напряжение на нелинейном резистивном элементе будет иметь три значения.

Таким образом, для нелинейных электрических цепей в определенных случаях невозможно составить уравнение со- стояния так, чтобы была обеспечена однозначность их реше- ния. В случае же синтетических схем выбор искомой перемен- ной не зависит от L или C. Искомыми могут быть и ток, и на- пряжение на нелинейном резистивном элементе. При подборе этих переменных можно руководствоваться правилами, разра- ботанными для обеспечения однозначности решения систем нелинейных уравнений резистивных схем. В синтетической

схеме цепи, изображенной на рисунке 4.55, а, в качестве хорд выбирают ветвь с нелинейным резистивным элементом, ВАХ которого управляется напряжением (см. рис. 4.55, б). К ребрам дерева в этом случае относятся ветви с ЭДС и линейной проводимостью g(L,h) (рис. 4.56). Следовательно в качестве искомых переменных должны быть взяты напряжение ul в синтети- ческой схеме и ток iR через нелинейный резистивный элемент.

Сложнее обстоит дело с описанием нелинейных элементов произвольного вида в матри- це проводимости схемы. В этом случае унифицированное описание невозможно и поэтому для каждого элемента должна быть составлена своя последовательность вычисления его пара-

gCn+l

g,Cn+1

ic(t)

Cn

Uc(t)

Cn+l

Рис. 4.54

Рис. 4.55

g(L,h)

U L ^Л l

J(L,h)

Рис. 4.56

.iR

R

Cn+1

197

Для понижающего — U,

Для повышающего — и_н

Для инвертирующего — _U

у-E

E

1 _-

^у

E-у Г 7

Анализ переходных процессов в таких схемах требует больших за- трат машинного времени и произво- дится методом припасовывания. Этот метод заключается в том, что последовательно решаются систе- мы дифференциальных уравнений

для всех конфигураций схемы в течение каждого периода. Таким образом, любой из периодов

метра в зависимости от определяющей переменной и вида характеристики элемента. Однако и при этом оказывается возможной единая последовательность вычисления вкладов в матрицы Y и J на разных итерациях решения нелинейной системы узловых уравнений. Например, уточнение проводимости для последующего шага можно провести следующим образом. Пусть нелинейная характеристика такова, что при заданном напряжении однозначно определяется ток, а следовательно и gi (i — номер итерации). Тогда параметр Ag=gi-gi.i можно рассматри­вать как проводимость новой параллельной ветви, для которой применим принцип поэлемент­ного вклада.

4.5.8 Применение метода усреднения в пространстве состояний для анализа

переходных процессов и устойчивости схем с периодической коммутацией

При разработке электронных устройств часто возникает задача анализа поведения схем с переменной конфигурацией (или схем с периодической коммутацией). Такие схемы включают в себя один или несколько ключевых элементов (например, транзисторных ключей, диодов), ко­торые периодически меняют свое состояние с включенного на выключенное. Самым распро­страненным примером таких схем являются импульсные регуляторы постоянного напряжения, являющиеся составной частью импульсных источников вторичного электропитания. Рассмот­рим структуры базовых регуляторов на рис. 4.57.

L

L

УР

S

УР

нз

E ф_

У Р

О Т

Rh

©

S

RH

©

L

Rh

а б в

Рис. 4.57. Схемы регуляторов постоянного напряжения: а - понижающий; б - повышающий; в - инвертирующий

Ключ замкнут Ключ разомкнут

н

©E

iL

III II

L

V

SU¹-

VD

C

R

L

uc

R

I

Рис

459

S

E

О

E

О

н

198

коммутации разбивается на интервалы времени, в течение которых существует каждая конфи­гурация. На краях интервалов решения для различных конфигураций состыковываются, исходя из законов коммутации (непрерывности напряжений на конденсаторах и токов в индуктивных компонентах). Так, например, для регулятора 3-го типа, 1-ая конфигурация определяется замк­нутым состоянием ключа S, при этом второй (неуправляемый) ключ в схеме диод VD заперт приложенным к нему обратным напряжением (рис. 4.59, а). Вторая конфигурация определяется выключенным состоянием управляемого ключа S и проводящим состоянием диода VD (рис. 4.49, б). Отметим, что в режиме прерывистых токов дросселя возможна 3-я конфигурация, оп­ределяемая запертым состоянием как управляемого ключа S, так и диода VD.

L л = dt

C duC

E

(4.16)

UC

dt ~ R

, diL

^L df

d u r .

c - ^c = iT

dt ^T

u f

_ C

R

(4.17)

Решение методом припасовывания на периоде коммутации с номером n сводится к сле­дующему. На интервале времени n-T< t < (n+y)-T (ключ S замкнут) решается система диф­ференциальных уравнений (4.16) с начальными условиями k(nT) и uc(nT), определяемыми в конечной точке предшествующего интервала (разомкнутого состояния ключа S). На интервале времени (n+y)T<t<(n + 1 )T (ключ S разомкнут) решается система дифференциальных урав­нений (4.17) с начальными условиями k[(n+y)T] и uc[(n+y)T], определяемыми значениями переменных состояния в конце предыдущего интервала. Далее подобный процесс повторяет­ся.

Также для анализа переходных процессов в переключательных схемах может быть ис­пользован символический метод — аппарат дискретного преобразования Лапласа (или z- преобразования, как его называют в переводной литературе, см. следующий раздел).

Однако для ряда переключательных схем расчет можно упростить, перейдя от последо­вательного решения систем для различных конфигураций схемы к решению одной усреднен­ной системы дифференциальных уравнений. В такой системе производные переменных со­стояния (токов в индуктивностях и напряжений на емкостях) принимаются равными их усред­ненным за период коммутации значениям. При этом в качестве весовых коэффициентов при усреднении используются относительные длительности существования каждой конфигурации системы (для регуляторов в режиме непрерывного тока дросселя — у, (!-/)). Такой метод в научной литературе получил название метода усреднения в пространстве состояний или сокращенно УПС (Р. Миддлбрук).

Такое упрощение допустимо лишь в том случае, если любая из постоянных времени схе­мы (RC, L/R, 2% -VLC) по крайней мере в несколько раз (лучше на порядок) превосходит период коммутации ключевых элементов. В этом случае изменение переменных состояния за период коммутации будет незначительным по сравнению с их средним значением. Кроме того, очевидно, что изменение переменных состояния будет определяться усредненными значения­ми их производных. Для схем регуляторов постоянного напряжения указанное условие приме­нимости метода УПС обычно выполняется всегда. Величины реактивных компонентов регуля­торов (L, C) выбираются таким образом, чтобы пульсации напряжения на нагрузке составляли сотые доли его постоянной составляющей (среднего значения), при заданных входном и вы­ходном напряжениях и токе нагрузки. При этом, естественно, постоянная времени LC фильтра превосходит период коммутации в десятки раз.

199

Рис. 4.60

Рассмотрим применение метода УПС для анализа переходных процессов в обратноходо- вом преобразователе рис. 4.60, а (на основе инвертирующего регулятора). Отметим, что об- ратноходовой преобразователь (рис. 4.60, а) отличается от соответствующего регулятора (рис. 4.57, в) лишь гальванической развязкой входной и выходной цепей, выполняемой дросселем- трансформатором Т, (w2/w, = n). В остальном работа обеих схем аналогична. При замкнутом состоянии силового ключа S, диод VD заперт обратным напряжением, равным сумме напряже- ния на нагрузке uc и трансформированного напряжения первичного источника nE. В магнитном поле сердечника дросселя-трансформатора накапливается энергия из источника Е. Конденса- тор C разряжается на сопротивление нагрузки R, отдавая часть накопленной на предыдущем интервале энергии из дросселя. При разомкнутом состоянии силового ключа дроссель отдает накопленную энергию в нагрузку через выходной RC-фильтр и открытый диод VD. Затем опи- санные процессы повторяются при периодической коммутации ключа S. В результате на на- грузке после окончания переходного процесса формируется пульсирующее напряжение с по- стоянной составляющей —^Е-^У . Величины реактивных компонентов выбираются таким обра-

1 -у

зом, чтобы пульсации были незаметны на уровне постоянной составляющей (т.е. составляли доли процента от уровня среднего значения). Таким образом выполняется задача преобразо- вания электрической энергии: из постоянного напряжения одного уровня получается постоян- ное напряжение другого уровня.

Для анализа динамики схемы методом УПС зададимся положительными направлениями тока в дросселе и напряжения на конденсаторе (см. рис. 4.60, а). Отметим, что поскольку ин- дуктивность магнитосвязанная (со 100% -ной магнитной связью), то ток должен быть направлен одинаково относительно начала обмоток на разных интервалах проводимости ключевого эле- мента. Рассмотрим эквивалентные схемы преобразователя для различных интервалов прово- димости ключевого элемента (см. рис. 4.60, б, в). Составим для каждой из них систему диффе- ренциальных уравнений относительно переменных состояния: напряжения на конденсаторе фильтра uc и тока дросселя iLw2, приведенного к вторичной стороне. Итак, системы диффе- ренциальных уравнений:

состояния силового

для

di

Lw2

dt

■£4

VD

'W-> t'c

X

iLw!

©

w,

№

iLw2

w2

R

Uc

J

^LW 2

замкнутого

nE

ключа

(рис.

4.60, б)

C du_c dt для

U

R

(4.18)

разомкнутого

состояния

силового

ключа

(рис.

4.60,

в)

lw2

dt

c dU_c dt

iw2

U

R

(4.19)

Перейдем к одной (усредненной за период коммута- ции ключа) системе дифференциальных уравнений. При

200

Jk-7

Uc

L-Y

C

R

R

E

т

c

L

Рис. 4.61

Таким образом, вместо решения последовательно на двух интервалах различных систем дифференциальных уравнений (4.18) и (4.19) и состыковки решений на границах интервалов, решается одна усредненная система (4.20). Решая ее можно определить переходные процес- сы в схеме регулятора при известных начальных условиях и известном законе изменения во времени коэффициента заполнения y(t).

Можно сравнить расчет переходных процессов выхода на режим преобразова- теля с постоянным коэффициентом запол- нения схемы с ключом или полной имита- ционной модели (рис. 4.57, в) и непрерыв- ной нелинейной модели (рис. 4.61) с помо- щью программы схемотехнического анали- за MICRO-CAP (позволяет легко модели- ровать нелинейные зависимые источники). При этом время расчета для непрерывной модели в десятки раз меньше, чем для имитационной, а огибающие кривых совпа-

Рис. 4.62. Переходный процесс в импульсном преобразо- ^{дают с хорошей точностью (рис}. ⁴.⁶²⁾. вателе постоянного напряжения: При использовании метода УПС, ес-

крив^ая ^{1 - мето}д прип^ас°выв^ания (ипи и^мит^аци°нн^ая тественно, теряется информация о пове- ^мод^ель) крив^ая ^{2 -} н^епр^ерывн^ая ^мод^ель по ^уГ1С дении переменных состояния внутри каж­

дого периода коммутации ключевого эле­мента (т.е. о пульсациях), однако это для рассматриваемого класса устройств допустимо.

Следует отметить, что из усредненной системы дифференциальных уравнений (4.20) мо­гут быть получены соотношения для установившегося режима работы регулятора, а из них — регулировочные характеристики. Очевидно, что в установившемся режиме средние за период значения переменных состояния не изменяются (т.е. uefconst, iLfConst). Следовательно ус­редненные производные переменных состояния равны 0. Подставляя due/dt=0 и dil/dt=0 в усредненную систему (4.20), получим:

этом учтем, что 1-ая конфигурация (рис. 4.60, б) существует в течение времени yT, а вторая (рис. 4.60, в) — (1-y)T. Итак, усредненная система дифференциальных уравнений и соответ­ствующая ей электрическая схема с нелинейными зависимыми источниками (обозначены ром­бом) (рис. 4.61):

L

W2

V -

nE - у- uc • (1 - у)

(4.20)

и = U

nE -у

I

I н

1 -У

I

^U н R

Непрерывная модель регулятора, полученная с помощью УПС, может быть использована для анализа устойчивости и синтеза корректирующих цепей в замкнутых системах автоматиче­ского регулирования - системах стабилизации напряжения. Импульсный стабилизатор выход­ного напряжения имеет структуру, представленную на рис. 4.63.

Г 1

н

201