ношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил, вводящих опера­ции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результа­тами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже из­вестными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел).

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфи­ческие физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и от­ношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непо­средственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение).

Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируются с мно­жествами действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.

Математическое моделирование - метод качественного и (или) количественного опи­сания процесса с помощью, так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс или явление описывается с помощью того или иного адекватного матема­тического аппарата. Математическое моделирование является неотъемлемой частью совре­менного исследования.

Математическое моделирование является типичной дисциплиной, находящейся, как сей­час часто говорят, на "стыке" нескольких наук. Адекватная математическая модель не может быть построена без глубокого знания того объекта, который "обслуживается" математической моделью. Иногда высказывается иллюзорная надежда, что математическая модель может быть создана совместно математиком, не знающим объекта моделирования, и специалистом по "объекту", не знающим математики. Для успешной деятельности в области математического моделирования необходимо знать как математические методы, так и объект моделирования. С этим связано, например, наличие такой специальности как физик-теоретик, основной деятель­ностью которого является математическое моделирование в физике. Разделение специалистов на теоретиков и экспериментаторов, утвердившееся в физике, скорее всего, произойдет и в других науках, как фундаментальных, так и прикладных.

1.2.1 Классификация математических моделей.

Ввиду разнообразия применяемых математических моделей, их общая классификация затруднена. В литературе обычно приводят классификации, в основу которых положены раз­личные подходы. Один из таких подходов связан схарактером моделируемого процесса, когда выделяют детерминированные и вероятностные модели. Наряду с такой широко распростра­ненной классификацией математических моделей существуют и другие.

Классификация математических моделей на основе особенностей применяемого мате­матического аппарата

В ней можно выделить следующие их разновидности:

Математические модели с сосредоточенными параметрами. Обычно с помощью таких моделей описывают динамику систем, состоящих из дискретных элементов. С математи­ческой стороны - это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

Математические модели с сосредоточенными параметрами широко применяются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или совокупностей идентичных объектов.

15

Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. В этой мо­дели фигурируют две динамические переменные - концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера.

В случае сложных систем число динамических переменных и, следовательно, диффе­ренциальных уравнений может быть велико (до 10²... 10³). В этих случаях полезны различные методы редукции системы, основанные на временной иерархии процессов, оценке влияния различных факторов и пренебрежении несущественными среди них и др. Рассмотренный вы­ше метод последовательного расширения модели может привести к созданию адекватной мо­дели сложной системы.

Математические модели с распределенными параметрами. Моделями этого типа описываются процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной при­роды и т. п. Эти процессы могут быть не только физической природы. Математические модели с распределенными параметрами широко распространены в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели применяют уравнения матема­тической физики, в том числе и нелинейные.

В большинстве случаев математические модели электронных устройств являются моде­лями со сосредоточенными параметрами. Однако в некоторых случаях (например, при анализе процессов в длинных линиях, СВЧ-технике) используются модели с распределенными пара­метрами.

В ряде случаев модели систем с распределенными параметрами строятся на основе компонентов со сосредоточенными параметрами. Примером может служить эквивалентная схема замещения длинной линии.

Длинная линия - это электрическая линия, образованная двумя параллельными провод­никами тока, длина которых превышает длину волны передаваемых электромагнитных колеба­ний, а расстояние между проводниками значительно меньше длины волны. Пример - теле­графные провода. Именно передача телеграфных сигналов выявила особые свойства такой системы. И уравнения, которые описывают процессы в ней, называются телеграфными урав­нениями.

Длинная линия является системой с распределёнными параметрами, т.к. каждый элемент её длины обладает одновременно оперделенным значениями индуктивности L и активного со­противления R проводов, ёмкости С и проводимости тока G между проводами. Через эти па­раметры определяют основные характеристики длинной линии - волновое сопротивление Wи скорость распространения v электромагнитных волн вдоль неё.

W = V = I / 4 L C

В длинной линии без потерь R = G = 0 (обычно на радиочастотах). Остаются только L и C. Однако ни последовательное, ни параллельное соединение L и C не обеспечивает электриче­ских характеристик, свойственных длинной линии. Самая простая эквивалентная схема длин­ной содержит 3 индуктивности, 3 конденсатора и резистор (рис. 1.4)

L L L

= h c =\=C =Uc

Рис. 1.4. Простейшая эквивалентная схема (модель) длинной линии: L — катушка индуктивности; С —

конденсатор; R — резистор, сопротивление которого равно волновому сопротивлению длинной линии.

Чем больше LC-звеньев содержит эквивалентная схема, тем ближе параметры этой мо­дели (с сосредоточенными параметрами) к реальным характеристиками длинной линии (сис­

16