4.6 Евклидовы пространства

Определение евклидова пространства. С помощью понятия линейного пространства можно сформулировать, что такое прямая линия, плоскость, размерность пространства, параллельность. Однако многие факты евклидовой геометрии, связанные с измерением длин и углов, оставались за пределами наших рассмотрений. Вспомним, что в аналитической геометрии для определения длин и измерения углов между векторами можно было пользоваться понятием скалярного произведения. Но уже это понятие включало в себя умение мерить длину векторов и косинус угла. В арифметическом линейном пространстве было определено скалярное произведение, и с его помощью вводились основные метрические понятия (длина вектора, ортогональность векторов).

В общем линейном пространстве V введем понятие скалярного произведения аксиоматически.

Определение. Говорят, что в вещественном линейном пространстве V определено скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число, которое обозначим , причем это соответствие удовлетворяет следующим аксиомам:

1. , т.е. скалярное произведение симметрично (выполнен переместительный закон).

2. (распределительный закон).

3. , для любого вещественного .

4. при и при .

Таким образом, скалярное произведение векторов х и у является билинейной симметричной формой, положительно определенной. Всякая форма, обладающая этими свойствами, может быть принята за скалярное произведение.

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым.

Примеры.

1. В трехмерном пространстве свободных векторов скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними. Аксиомы 1 – 4 выражают собой основные свойства скалярного произведения и доказываются в векторной алгебре.

2. В пространстве вводилось скалярное произведение двух векторов и по формуле

.

Легко проверить, что требования 1 – 4 выполняются.

3. В пространстве непрерывных на отрезке функций введем скалярное произведение двух функций и по формуле . Используя правила интегрирования, можно проверить, что аксиомы 1 – 4 выполняются.

Пусть V произвольное конечномерное евклидово пространство с базисом . Пусть и

,

.

Тогда, используя аксиомы 2 и 3, получим

.

Обозначим , где (аксиома 4). Получим общий вид скалярного произведения в конечном евклидовом пространстве

.

Задавая различным образом скалярное произведения базисных векторов , получим различные формы скалярного произведения в V.

Основные метрические понятия. Определим теперь с помощью скалярного произведения длину вектора и угол между векторами.

1. Длина вектора.

Длиной вектора х, или нормой вектора в евклидовом пространстве будем называть величину

(берется арифметическое значение корня).

Заметим, что в пространствах и норма совпадает с обычной длиной вектора х. В пространстве для вектора

.

Нормой функции является величина . Эту величину обозначают иногда . Из определения нормы следует, что при , и при .

Абсолютную величину числового множителя можно выносить за знак нормы вектора

.

Вектор х, имеющий длину 1, называется нормированным. Очевидно, всякий ненулевой вектор х можно нормировать. Для этого достаточно умножить его на число ,

.

Множество называется ограниченным, если длины всех векторов ограничены фиксированной константой. Например, единичный шар пространства V – совокупность всех векторов , .

2. Угол между векторами.

Углом между парой векторов х, у будем называть тот угол , косинус которого равен отношению .

В пространствах и это согласуется с обычным выражением угла между векторами. Чтобы введенное понятие имело смысл в любом евклидовом пространстве R нужно доказать, что

,

т.е. что . Для доказательства рассмотрим вектор , где – вещественное число (аксиома 4)

.

Слева стоит квадратный трехчлен относительно , и так как он не отрицателен, его дискриминант

.

Отсюда , .

Неравенство называют неравенством Коши-Буняковского.

Посмотрим какой вид имеет неравенство Коши-Буняковского в различных пространствах.

1. В пространстве неравенство вытекает из определения скалярного произведения как длин векторов и косинуса угла между ними.

2. В пространстве неравенство Коши-Буняковского имеет вид

.

Оно справедливо для любой пары векторов и , т.е. для любых наборов чисел и .

3. В пространстве будем иметь

.

Например, найдем угол между функциями и в пространстве .

.

Так как интегралы

; ;

, то .

Угол же между функциями и в равен

,

так как интеграл от нечетной функции на симметричном интервале (1,-1) равен нулю. Таким образом, функции и ортогональны.

В пространстве две функции и считаются ортогональными, если .

Легко проверить, например, что любые два вектора из системы функций 1, , , , ,…, , взаимно ортогональны на отрезке . С помощью введенных понятий можно перенести на евклидовы пространства ряд теорем элементарной геометрии.