5.3 Самосопряженный оператор

Среди линейных операторов легко вводятся такие действия, как сложение операторов, умножение оператора на число, умножение операторов.

Можно показать, что эти действия над операторами сводятся к аналогичным действиям над их матрицами. Так, например, умножение операторов (последовательное выполнение двух линейных преобразований) приводит к умножению их матриц. Умножение операторов, так же как и умножение матриц, вообще говоря, некоммунатативно. Рассмотрим пример.

В пространстве на плоскости со стандартным базисом определим два оператора: – поворот на угол против часовой стрелки и Р – проектирование на ось (оба оператора линейны). Рассмотрим действие операторов АР и РА на векторы базиса:

, ; , .

, ; , .

Или матрицы операторов АР и РА в базис :

, , .

Операторы А и В считаются равными, если для всякого верно , откуда следует, что у равных операторов совпадают матрицы в любых базисах.

Конечно, некоторые пары операторов коммутируют, например, для любого А, что верно и для их матриц.

Введем понятие оператора, обратного к оператору . Оператор называется обратным к оператору А, если , или произведение , где Е – тождественный оператор. Можно показать, что обратный оператор единственный, причем . Тогда, если в пространстве V выбран базис , то в этом базисе для матриц операторов верно .

Матрицу В называют обратной к матрице А и обозначают . С этой матрицей мы уже ознакомились в юните 1. Обратный оператор будем обозначать . Заметим, что если , то . Очевидно не всякий оператор А имеет обратный. Например, если оператор А вектор переводит в 0-вектор , то для любого линейного оператора В будем иметь , т.е. равенство невозможно, т.е. А не имеет обратного.

Мы знаем, что не всякая матрица имеет обратную. Условием существования обратной к данной матрице А является ее невырожденность ( ).

Итак, если в пространстве V выбран конечный базис , то каждому вектору , ставится в соответствие последовательность чисел , т.е. вектор из . Действия над векторами сводятся к действиям над векторами (точками) пространства .

Упомянутое выше соответствие между операторами и их матрицами в заданном базисе сводит действия над линейными операторами к соответствующим действиям над их матрицами.

Рассмотрим, например, задачу об отыскании собственных векторов оператора А.

Определение. Пусть линейный оператор . Ненулевой вектор , удовлетворяющий соотношению , называется собственным вектором оператора А, а соответствующее число – собственным значением оператора А.

Задача об отыскании собственных векторов и собственных значений имеет много важных приложений. Чем больше собственных векторов мы знаем, тем лучше понимаем, как действует оператор. Идеальным является случай, когда в пространстве V имеется базис из собственных векторов оператора А. В таком базисе матрица оператора имеет диагональный вид , где – собственные значения, отвечающие собственному вектору .

Задача об отыскании собственных значений и векторов оператора А сводится к отысканию собственных значений и векторов матрицы оператора А. Эта задача подробно рассматривалась в главе 1. Напомним, что собственные числа являются корнями характеристического многочлена .

Матрица А при замене базиса преобразуется , где С – матрица перехода. Покажем, что характеристический многочлен (и его корни) при этом не изменятся.

, так как

.

Следовательно можно говорить о характеристическом многочлене матрицы оператора (в любом базисе). Как было показано (гл. 1) не всякая матрица имеет собственный базис.

Если же матрица А – симметричная, то для нее существует ортонормированный собственный базис. Возникает вопрос, какому оператору соответствует симметричная матрица?

Пусть V – евклидово пространство, – стандартный ортонормированный базис, линейный оператор , А – его матрица в базисе . Линейный оператор называется сопряженным к А, если для любых .

Для всякого ли оператора А в евклидовом пространстве существует сопряженный оператор А^*, а если существует, то однозначно ли он определяется?

Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение.

Пусть А^* оператор, сопряженный к А и B – его матрица в базисе . Тогда . Обратно, сопряженный оператор А^* можно определить как оператор, имеющий в ортонормированном базис матрицу , транспонированную к матрице А оператора А.

Таким образом, сопряженный оператор существует и притом только один.

Оператор А называется самосопряженным, если он совпадает со своим сопряженным оператором, т.е. или , .

Примеры.

1. Простейшие линейные операторы – нулевой и тождественный Е – являются сопряженными, так как для любых :

,

.

2. В трехмерном евклидовом пространстве с обычным скалярным произведением оператор А определен так: каждому вектору ставится в соответствие вектор , равный вектор-проекции на единичный вектор , т.е. . Покажем, что . Действительно,

.

.

Так как правые части равенств совпадают, то и левые их части равны, т.е. А – самосопряженный оператор.

Для самосопряженного оператора , тогда соответствующие им матрицы равны, т.е. , где – транспонированная матрица.

Известно, если матрица совпадает со своей транспонированной, то она симметричная. Таким образом, оператор является самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в каком-нибудь (и любом) ортонормированном базисе симметрична.

В главе 2 подробно рассматривались свойства симметричных матриц. Наиболее важным является следующее: для симметричной матрицы А существует ортонормированный базис самостоятельного оператора из собственных векторов матрицы. Матрица перехода С от стандартного базиса к базису является ортогональной. Матрица А оператора А в базисе из собственных векторов преобразуется по формуле:

, и имеет диагональный вид ,

где – собственные числа оператора А. Итак, имеет место теорема.

Теорема. Пусть А самосопряженный оператор. Тогда в евклидовом пространстве V существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора А, в котором матрица оператора имеет диагональный вид. Для любой симметричной матрицы А найдется такая ортогональная матрица U, что , где – собственные значения оператора.