11. Полное описание квантовой системы. Принцип суперпозиции. Ортогональность и нормировка собственных функций эрмитовых операторов. Базис пространства состояний. Чистые и смешанные состояния.

Квантовая система – совокупность элементарных ч-ц, обл-щих опред. св-вами.

Полный набор – совокуп-ть совместно измеримых параметров системы, т.е. совокуп-ть всех динамических переменных, имеющих в данном состоянии определённое значение.

Состояние любой кв. системы полностью опред-ся волновой ф-цией , зависящей от динамических переменных и времени. Число динамич. переменных равно числу степеней свободы системы, т.е. числу независимых величин, к-е могут одновременно иметь опред. значения. Ф-ция в каждый момент времени опр-ся во всей области координат. Квадрат модуля волновой ф-ции описывает плотность вероятности распределения динамич. переменных.

Чистые состояния - состояния кв. системы, описанные волновой ф-цией. Они соотв-т максимально полной инф-ции о состоянии системы.

Смешанные состояния несут неполную инф-цию о состоянии системы.

Волновой пакет - это самораспространяющееся волновое поле, занимающее в каждый момент времени ограниченную область пространства.

Принцип суперпозиции состояний:

1)если какая-либо система может находится в состояниях, описываемых волновыми ф-циями и , то она может нах-ся и в состояниях, к-е описываются волновыми ф-циями, образующимися из и с помощью линейного преобразования , где и - любые комплексные числа, не зависящие от времени.

2)если волновую ф-цию умножить на любое не равное нулю комплексное число, то новая волновая ф-ция будет соответствовать тому же состоянию системы.

Ортогональность и нормировка собственных функций эрмитовых операторов.

Классическим динамическим величинам в кв. мех-ке ставятся в соответствие линейные эрмитовы (самосопряжённые) операторы.

Если ф-ция явл-ся суммой ф-ций и , то вычисление среднего значения в состоянии сводится к вычислению интеграла < >= (1), где величина = + (2) явл-ся дифференциальным оператором, соответствующим физ.величине . Зная оператор, соответствующий физ.величине, можно вычислить и средние квадратичние отклонения от средних значений в данном состоянии :

< >= (3);

Т.к. оператор самосопряжённый, преобразуем:

< >= (4)- среднее кв. откл-ние от среднего значения любой физ. величины в произвольном состоянии, описываемом ф-цией .

Чтобы определить неизвестные состояния, в к-х сред. кв. отклонение равно нулю (т.е. те состояния, в к-х имеет определённые значения), записывается: 0= (5). Весь интеграл равен нулю только при . Т.к. величина имеет определённое значение, т.е. =< >, то (6). В общем случае ур-ние (6) имеет решения только при некоторых определённых значениях физ.величины , которые задаются параметрами ур-ния (6). Эти значения могут пробегать непрерывный либо дискретный ряд значений. Эти особые значения наз-т собственными значениями оператора, а соответствующие им решения ур-ния (6) – собственными функциями оператора. Спектр – совокупность собств. значений оператора.

Св-ва собственных значений и собственных функций.

1)Собств. значения линейного эрмитового оператора действительны.

2)Собств. функции линейного эрмитового оператора, к-е соотв-т разным собств. значениям, взаимноортогональны (их скалярное произведение равно нулю).

Ортогональность и нормированность.

Пусть оператор имеет невырожденный дискретный спектр собств. значений . Тогда собств. ф-ции этого оператора удовл-т ур-нию (7)

Запишем ур-ние комплексно сопряжённое ур-нию (7): (8) Умножим (7) и (8) слева соотв-но на и . Затем интегрируем правые и левые части новых ур-ний по всей области изменения переменных и вычитая одно из другого и спользуя условие самосопряженности оператора, находим:

( (9).

Если , то из (9) следует ортогональность собств. ф-ций, относящихся к разным собств. значениям:

(10)

Физический смысл ортогональности собств. ф-ций и оператора закл-ся в том, что при измерении физ.величины в этих состояниях мы наверняка получим разные значения: в состоянии и в состоянии . Т.о. мы доказали, что собственные ф-ции, относящиеся к различным собств. значениям самосопряж. оператора, ортогональны между собой.

Для всех реальных систем (с конечным радиусом действия сил) в состояниях с дискретным спектром энергии частица обязательно находится в ограниченной области пространства. Поэтому для собств. ф-ций дискретного спектра интеграл

распространённый на всю область изменения переменных, от которых зависит , всегда имеет конечное значение. Следовательно, собств. ф-ции операторов с дискретным спектром значений всегда можно нормировать. С учётом (10) можно сказать, что совокупность собств. ф-ций операторов, имеющих дискретный спектр, образует систему ортонормированных ф-ций.

3)Система собств. ф-ций линейного эрмитового оператора полна: любая другая ф-ция , зависящая от тех же переменных и удовлетворяющая тем же граничным условиям, для к-й существует интеграл , может быть представлена в виде ряда , где суммирование распространено на все значения квантового числа n. Это означает, что она явл-ся базисом в гильбертовом пространстве

Гильбертово пространство – это абстрактное комплексное векторное пространство бесконечного числа измерений. Вектор состояния в гильбертовом пространстве может быть определён через значения своих координат – волновых ф-ций. В гильбертовом пространстве в качестве базисных векторов исп-ся полные системы ортонормированных векторов или соответствующих им базисных ф-ций. Т.к. совокупность собств. ф-ций любого эрмитового оператора квантовой механики образует полную ортонормированную систему ф-ций, то любую такую совокупность ф-ций можно использовать в качестве базисной системы.

4)Два оператора и имеют совместную систему собств.функций тогда и только тогда, когда они коммутивны.

12. Динамические переменные в квантовой теории. Операторы квантовой механики. Средние значения физических величин. Примеры операторов квантовой механики (оператор положения, оператор импульса), их собственные функции и значения.

Покажем, что знание нормитрованной волновой ф-ии  позволяет вычис-ть средние знач-я физ.величин в этом сост-и. Т.к. плотность вероят-ти определ-х значен-й радиуса-вектора выражается через фун-ю сост-я : Среднее знач-е любой фун-и радиуса-вектора: Вероят-ть знач-я импульса будет опред-ся велич-й ,где Зная вероят-ть опред-го знач-я импульса, находим среднее значение импульса по общему правилу: , где (r-r)-сингулярная ф-я,ф-я Дирака равная 0 во всех точках rr. Окончательная ф-ла, определяющая среднее знач-е импульса: непосредственно через значения волновой фун-и, соотв-щей данному сост-ю. Это легко обобщается и на случай любой целой рациональной фун-и F(p) импульса Если фун-я F явл-ся суммой фун-ий ,то вычисл-е среднего значен-я F в состоянии  сводится к вычис-ю интеграла: , где величина явл-ся дифференц-м оператором. Будем называть оператором, соотв-м физ.величине F. В квантовой мех-ке рассматрив-ся диф-ные(и обратные к ним интегральные) опер-ры, определенные на множ-ве фун-ий, непрерывных и дифференц-х в замкнутой области, удовлет-х однородным краевым условиям на границах этой области.

Классическим динамич-м велич-м вида в квантовой мех-ке ставятся в соответствие линейные эрмитовы операторы: Чтобы получить оператор для динамич. перем-й надо заменить: , Чтобы получить А(х,р), надо сделать замену. Замены произв-ся так: а) классич.выражение для динамич.перем-й запис-ся в декартовых коорд-х. б) следует сгруппировать члены, квадратичные по Р: , а также члены, содержащие только х: . По возможности выделить члены и такие , кот-е надо записывать в симметричной форме.

Определим общие условия, кот-м должны удовлетворять такие опер-ры. Действие опер-ра на стоящую справа от него фун-ю интеграле (9) сводится к преобразованию этой фун=и в новую фун-ю Чтобы при таком преобраз-и не нарушался принцип суперпозиции состояний, необходимо выполнение условий: (12). Опер-ры, удовлетворяющие условиям (12) для произвольной фун-и , наз-ся линейными операторами. Условие действительности средних значений: сводится к интегральному равен-ву для опер-в , кот-му удовлетворяют самосопряженные, или эрмитовы операторы. В рав-ве (13) фун-и ^и  явл-ся произвольными фун-ми, зависящими от переменных, на кот-е действует оператор и для кот-х интегралы (13), распространенные на все возможные значения переменных, имеют конечные значения. Функциональное ур-е (13) в краткой операторной форме: В квантовой мех-ке всем физ.(наблюдаемым)велич-м сопоставляются линейные(чтобы выполнялся принцип суперпозиции) и самосопряженные(чтобы средние значения были вещественными) операторы. Оператор коорд-ты совпадает с координатой оператор импульса Оба эти опер-ра явл-ся линейными и самосопряженными. Если фун-я F явл-ся суммой произвольной фун-и от координат и целой рациональной фун-и импульсов, то соответ-й ей оператор: Произведен-м опер-в Если имеются 2 опер-ра, произведен-е кот-х не зависит от порядка сомножителей, то говорят, что они коммутируют друг с другом. Если , т.е. эрмитово сопряженный опер-р = произвед-ю эрмитово сопр-х опер-в, взятых в обратном порядке.

Три оператора координ-ты х,у,z, кот-е кратко обозначаются r_i (I=1,2,3), коммутируют между собой, т.е. Коммутир-т между собой и опер-ры проекций импульса Примером некомутир-х опер-в явл-ся Вычислим действие произведений этих опер-в на произвольную фун-ю, зависящую от х:

Можно вычислять не только средние значения, но и средние квадратичные отклонения от средних значений в данном сост-и . Вводя и соответствующий эрмитов оператор Используя самосопряженность оператора преобразуем (25): Фор-ла (26) позволяет вычислять среднее квадратичное отклонение от среднего значения любой физ.вел-ны в произвольном сост-и, описываемом фун-й . Можно опред-ть такие сост-я, в кот-х величина F имеет определенное значение. Для таких сост-й : Равенство 0 интеграла возможно лишь при: Урав-е (29) явл-ся однородным, линейным ур-ем относительно неизвестной фун-и . В общем случае ур-е имеет решения, удовлетворяющие условиям, только при нек-х определенных значениях физ.вел-ны F. Эти особые значения параметра F наз-ют собственными значениями оператора , а соответ-е им решения урав-я (29) наз-ют собственными фун-ми оператора. Совокупность собственных значений опер-ра наз-ся его спектром. В сост-и, кот-е описывается собст-й фун-й _F опер-ра , физ.вел-на имеет определенное значение, равное собственному значению этого оператора.

Собствен-е значения и собст-е фун-и опер-ра проекции импульса Задача сводится к решению ур-я: Непрерывные, однозначные и конечные реш-я этого ур-я возможны для всех действительных значений р_х, заключенных в интервале Т.е. оператор имеет непрерывный спектр собст-х значений. Каждому собственному знач-ю р_х=р соответ-т одна собств-я фун-я: Эта фун-я описывает движение частицы вдоль оси х с определ-м импульсом р.

Оп-р координаты имеет непрерывный спектр. Собствен-е значения и собст-е фун-и опер-ра коор-ы опред-ся из ур-я: Это ур-е имеет решения припроизвольных значениях r, при этом нормированные к дельта-функции реш-я совпадают с дельта-фун-й: Коэф-ты разложения произвольной нормированной фун-и  по собственным фун-м опер-ра коорд-ты опред-ся по общему правилу: Следов-но, вероят-ть обнаружения частицы в объеме d: .