9. Скалярный и векторный потенциалы заряда, движущегося с постоянной скоростью; формула Лоренца.

Потенциалы заряда, движущегося с постоянной скоростью; формула Лоренца.

Применим теперь потенциалы Льенара-Вихерта к случаю заряда, движущегося по прямой с постоянной скоростью, и вычислим поле этого заряда. Мы знаем величину потенциалов в той системе, в которой заряд покоится. Когда заряд движется, то все получается простым реляти­вистским преобразованием от одной системы к другой. Но теория относительности ведет свое начало от теории электричества и магнетизма. Поэтому покажем, что уравнения Максвелла действительно приводят к преобразованиям Лоренца. Вычислим потенциал равномерно движущегося заряда из уравнений Максвелла.

Пусть имеется заряд, движущийся вдоль оси х со скоростью V/рис. 10.7/. Нас интересуют потенциалы в точке Р(х,у,z) . Если t=0 - момент времени, в который заряд проходит через начало координат, то в момент t заряд окажется в точке х=Vt, у=z=0. А нам нужно знать его положение с учетом запаздывания, т.е. положение в момент

(10.28) где r’– расстояние от заряда до точки Р в этот запаздывающий момент. В это более раннее время t’ заряд был в х=Vt’, так что 10.29

Чтобы найти r' или t’, это уравнение надо сопоставить с 10.28. Исключим сперва r' , решив 10.26 относительно r’ и подставив в 10.29. Возведя затем обе части в квадрат, получим квадратное уравнение относительно t’, раскрыв скоб­ки и расположив члены по степеням t' , получим:

Рис.10.7

Отсюда найдем

10.30

Чтобы получить r' , надо это t’ подставить в r’=c(t-t’). Теперь уже можно найти  из выражения 10.26, имеющего вид:

10.31

Составляющая в направлении равна , так что просто равно , а весь знаменатель равен Подставляя из 10.30, получаем:

=

Это уравнение становится более понятным, если переписать его в виде:

= (10.32) Векторный потенциал А – это такое же выражение, но с добавочным множителем : В выражении 10.32 со всей ясностью предстает перед нами начало преобразований Лоренца. Если бы заряд находился в начале координат в своей собственной системе покоя, то его потенциал имел бы вид: А мы смотрели на него из движущейся системы координат, и нам кажется, что координаты следует преобразовать с помощью формул: , , .

Это обычное преобразование Лоренца. Лоренц вывел его тем же самым способом, каким пользовались и мы.

10. Преобразования Лоренца для проекций векторов и . Инварианты электромагнитного поля.

Найдем вначале преобразования Лоренца для компонент тензора

; ; ; ; 14.1

Формулы преобразования для проекций Е и В получим, если в эти формулы подставить компоненты согласно 13.24 : ; ;

; .14.2 Можно переписать эти уравнения в форме, более легкой для запоминания. Для этого заметьте, что поскольку скорость направлена по оси х, то все компоненты с представляют собой векторные произведения и . Так что преобразования можно записать в виде:

; ; 14.3

. 14.3. Фактически эти преобразования можно записать еще проще, если ввести компоненты поля, направленные по оси х / Е_,, и В„ /и "перпендикулярные" компоненты E и B , т.е. векторную сумму у- и z- компонент:

, 14.4 14.2. Инварианты эл.-м. поля.Пользуясь преобразованиями Лоренса для проекций векторов и , легко показать, что и , или и .

С другой стороны, откуда следует .

Инварианты эл.-магнитного поля показывают:

1. если в одной инерциальной системе Е = В = О, то и в любой другой инерциальной системе поле отсутствует;

2. если в к.-л. ицерциальной системе и возрастают / и / или убывают/ и /, или если Е или Е , то во всех других инерциальных системах они будут или возрастать или убивать, или сохранять соответствующие неравенства. Это значит, что фаза эл.-м, возмущений является инвариантом, в частности фаза электромагнитной световой волны есть инвариант

3. так как , то угол между и во всех инерциальных системах будет или острый, или тупой, или Е и В будут параллельны или перпендикулярны.Инварианты являются математическим выражением инвариантности эл.-м. поля, утверждением его абсолютного характера. Но его состояния, электрическое или магнитное поля имеют относительный характер; они как временные и пространственные компоненты электромагнитного фона пространства-времени зависят от инерциальной системы отсчета. И только электромагнитное поле, как единство электрического и магнитного полей, существует как форма материи абсолютно.