Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

10.2/ = 2 + с\/1-ж2, (1-а:2)г/'-Ьж2/ = 2а:.

11.2.Уравнения

сразделяющимися переменными

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.В области, где G{x) 7^ О и F{y) ф О разделяем переменные, т.е. представляем уравнение (1) в виде

2.Вычислим интегралы в уравнении

/Ш^н.„-/{^ь) dy

ипреобразуем его к виду ^[х., у) = С.

3.Ответ записываем в таком виде: интегральные кривые опреде­ ляются уравнением (р{х,у) = С при всевозможных значениях С.

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ ОДНО ИЛИ оба уравнения G{x) = О и F{y) = О

имеют решения ж1, Ж2,... иух, у2) • • •? то равенствах = xi, ж = Х2,... и у = yi^y = У2,' • - нужно присоединить к ответу, так как они являются интегральными кривыми дифференциального уравнения (1).

ПРИМЕР. Найти интегральные кривые дифференциального урав­ нения

бх dx - Qydy = 2x^2/ dy - Зху^ dx.

РЕШЕНИЕ.

1. Перепишем исходное уравнение в виде

Поскольку х^ + 3 > о и 2 -h 2/^ > о, разделяем переменные, т.е. представляем уравнение (2) в виде

2. Вычислим интегралы в уравнении

/^^^^/з^^^-

Имеем

11.3. Однородные уравнения

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти интегральные кривые однородного дифференциального уравнения первого порядка, т.е. дифференциаль­ ного уравнения вида

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1.Преобразуем уравнение (1) к виду

4. Интегрируем полученное уравнение с разделенными перемен­ ными и делаем замену z{x) = у{х)/х. Записываем ответ.

ЗАМЕЧАНИЯ.

1.Если Z =^ ZQ — корень уравнения f{z) — z = О, то решением уравнения (1) будет также у = ZQX.

2.Интегральные кривые однородного уравнения можно искать и

вполярных координатах.

ПРИМЕР. Найти интегральные кривые дифференциального урав­ нения

, х^ + 2ху — 5у'^ 2х'^ — Qxy

Условия ЗАДАЧ. Найти интегральные кривые дифференциаль­ ных уравнений.

X X

4. X cos — dy -\- (х - у cos —) dx = 0. 5. (ж^ -f 2ху) dx -\- ху dy = 0.

11.4. Линейные уравнения 1-го порядка

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (2)

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (3), считая С неизвестной функцией ж, т.е. полагая С = С{х)\

б) подставляем в уравнение (1) у и у'^ определяемые из соотноше­ ния (3), где С = С{х). Из полученного дифференциального уравнения

Здесь С{х) содержит произвольную постоянную Со.

5. Используя начальные условия (1'), находим значение Со и по­ лучаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у — ^{х).

2-й способ.

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а урав­ нение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало

Решая уравнение (6) (с разделяющимися переменными), находим li, не равное тождественно нулю, чтобы не сужать множество решений у.

4. Подставляем и[х) в уравнение (7) и решаем его относительно v. 5. Записываем общее решение уравнения в виде у{х) = u{x)v{x).

6. Используя начальные условия (1'), получаем решение постав­ ленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у — (f{x).

ПРИМЕР. Найти решение задачи Коши для уравнения

X Х^

с начальным условием

2/(1)-1 .

РЕШЕНИЕ.

1-й способ.

1. Записываем соответствующее однородное линейное уравнение:

2/' - ~ 2/ = 0.

X

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2.Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения

у= Сх.

3.Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (8) в виде

у ^ С{х)х,

где С{х) — неизвестная функция х\ б) подставляя в уравнение (8)

у = С{х)х и у' = С\х)х + С{х),