260 |
Гл. 11. Дифференциальные уравнения |
получаем дифференциальное уравнение относительно С{х)
С\х)х = - ^ , х^
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные
dC = — г ^'^ х-^
и интегрируя, получаем
С(х) = ^ + Со,
где Со — произвольная постоянная.
4.Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (8) имеет вид
5.Используя начальное условие у{1) = 1, получаем
находим Со = О и подставляем в общее решение (9).
Ответ, у = 1/х.
2-й способ.
1. Ищем решение уравнения (8) в виде
у = |
u{x)v{x), |
|
|
где и и V — неизвестные функции х. |
|
|
2. Уравнение (8) принимает вид |
|
|
u'v + uv' |
1UV = |
2Г-. |
(10) |
|
X |
Х^ |
|
3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а урав нение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.
11.4. Линейные уравнения l-zo порядка |
261 |
Пусть одна из функций (например, и{х)) удовлетворяет |
уравне |
нию |
|
и' -^и = 0. |
(11) |
X |
|
Тогда уравнение (10) принимает вид |
|
v'u^-\. |
(12) |
х^ |
|
Решая уравнение (11) (с разделяющимися переменными), находим
и{х) — Ах,
где А — произвольная постоянная {А ф О, чтобы не сужать множест во решений).
4. Подставляем и{х) в уравнение (12) и решаем его относитель но v\
|
,_ |
Jl_ |
_ JL_ |
|
|
|
Ах^ |
Ах'^ |
' |
где В — произвольная постоянная. |
|
|
5. |
Записываем обш;ее решение уравнения (8) в виде |
|
у{х) |
— u{x)v{x) |
= —h Сж, |
|
|
|
|
X |
|
где С = АВ — произвольная постоянная. |
|
6. |
Используя начальное условие у{1) = 1, находим С = 0. |
Ответ, у = 1/х.
Условия ЗАДАЧ. Найти решения задач Коти для дифференци альных уравнений.
1. |
Х2/' + у - е ^ = 0 , |
2/(0) = 1. |
2. |
y'-ytgx= |
, |
2/(0)=0. |
3. |
у' cos^x^-y |
cos ж |
у ( 0 ) = 0 . |
= igx, |
|
о2 |
|
|
262 |
|
|
|
|
Гл. 11. Дифференциальные уравнения |
4. |
у' |
-ytYix |
— Q}O? X, |
у ( 0 ) = 0 . |
5. |
у |
1 |
|
— = х\пх, |
2/(е) = у . |
|
|
|
У |
1 |
|
|
|
|
|
хтх |
|
уф = о. |
6. |
у' smx — 2/C0SX = 1, |
7. |
у' |
— ytgx |
= cos ж, |
У(0)=0 . |
8. |
у' |
- |
2ху = |
3x2 _ 2^.4^ |
у ( 0 ) = 0 . |
9. |
ху' |
— 2у = 2ж'*, |
у ( 1 ) = 0 . |
10. |
у' |
+ у cos а; = е^^'^^, |
у ( 0 ) - 0 . |
Ответы.
1.е ^ - 1
X
3.у — e~*Sa: | tgX - 1.
5.у — -—- In X. ^ 2
7. |
|
(X |
sin 2х \ |
1 |
'^^ |
V2 "^ |
4 j |
cosx' |
9. |
у~х^- |
х^. |
|
а; 2. у = cos а;'
4. 2/ = ch X sh х.
6.2/ = - cos X.
8.у = х^
10.у = а;е-^'"^.
11.5. Уравнение Бернулли
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти решение задачи Коши для уравне
ния Бернулли |
|
|
y' + 9{x)y = f{x)y^ (а ^ 0 , 1 ) |
(1) |
С начальным условием |
|
|
У{х^) = |
2/0. |
(1') |
ПЛАН РЕШЕНИЯ. |
|
|
1. С помощью подстановки |
|
|
ургшнение приводится к линейному |
|
|
z'+p{x)z |
= q{x), |
(2) |
11.5. Уравнение Бернулли |
263 |
где р = {1 - а)д и q = {1 - a)f.
2.Решаем линейное уравнение (2) и делаем замену z = у^~^.
3.Используя начальное условие (1'), находим решение поставлен ной задачи Коши.
Записываем ответ в виде у = (f{x).
ЗАМЕЧАНИЕ. При решения уравнения Бернулли можно не при водить его к линейному, а искать решение в виде у = u{x)v{x) или применять метод вариации произвольной постоянной.
ПРИМЕР. Найти решение задачи Коши
с начальным условием
2/(1) = 1.
РЕШЕНИЕ.
Преобразовав уравнение к виду
убеждаемся, что это уравнение Бернулли с а = 2. 1. С помощью подстановки
уравнение (3) приводится к линейному |
|
z ' - - z |
= -l. |
(4) |
X |
|
|
2. Решаем уравнение (4) методом вариации произвольной посто |
янной: |
|
|
а) решаем однородное уравнение |
|
|
z' - - z |
= 0, |
|
X |
|
|
получаем z = Сх\ |
|
|
б) ищем решение неоднородного уравнения в виде
264 |
Гл.11. Дифференциальные уравнения |
|
в) подставляя в уравнение (4) |
|
|
Z = С{х)х, |
z' |
= С\х)х 4- С{х), |
получаем уравнение с разделяющимися переменными
С'{х)х = - 1 .
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
С{х) = Со-1пх.
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (4) имеет
вид |
|
|
|
|
|
|
|
Z = х{Со - |
In ж), |
или, после замены z = |
у~^, |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
X{CQ - |
In Ж)* |
3. Используя начальное условие у(1) = 1: |
|
|
|
1 |
1, |
|
|
|
1(Со-0) |
|
|
|
|
получаем Со = 1. |
|
|
|
|
1 |
|
|
Ответ, |
у = х{1 — In ж) |
|
Условия ЗАДАЧ. Найти решения задач Коши для дифференци |
альных |
уравнений. |
|
|
1. |
ху' |
= 4у = х'^уГу, |
у{1) = 0. |
|
, |
2ХУ |
4:у/у |
(Л\ '^^ |
^- ^ 1 Т ^ = 7гт^'"*'"' '^'^^^
3. ху' + у = -х^у^, |
У(1) = 1- |
|
|
11.6. Уравненгт |
в полных дифференциалах |
|
265 |
4. |
ху' |
+ у = у^1пх, |
|
у{1) = 1. |
|
|
5. |
(х + 1)у' + у = -у^{х + 1), |
2/(0) = |
1. |
|
|
6. |
2/' + 2y = e V , |
|
2/(0) - 1 . |
|
|
7. |
у' + 2/ = х2/2, |
|
2/(0) = |
1. |
|
|
|
|
X |
cos^a: |
|
|
тг^ |
|
|
9. |
yshx-i-ychx |
= -Y-y, |
|
^^^ "^ |
i h l ' |
|
|
10. у ' - |
2/tgx+ у^со8ж = О, |
2/(0) = |
1. |
|
|
Ответы. |
|
|
|
|
|
|
1. 2/ = |
"Г lii^ к1- 2. 2/ = |
(1 + x^)arctg^ ж. |
3. 2/ = - ^ . |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
х^ |
'•У |
= Т^х- |
^•y=il |
+ x){llln\l |
+ x\y |
|
^-У^'-'- |
|
|
1 |
„ |
/ l + l n | c o s x | |
V |
„ |
1 |
10. 2/ - |
{х + |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
l)cosx* |
|
|
|
|
|
11.6. Уравнения в полных дифференциалах |
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. |
Найти |
интегральные кривые |
дифферен |
циального |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
P{x,y)dx + Q{x,y)dy |
= 0. |
|
(1) |
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Если в некоторой области D Р(ж, у) и (5(х, у) имеют непрерыв ные частные производные и выполнено условие
ду ~~ дх'
то P{x^y)dx + Q{x,y)dy — дифференциал некоторой функции
и{х,у). Тогда уравнение (1) называется уравнением в полных диффе-
266 |
Гл.И. Дифференциальные уравненил |
|
репциалах |
и может быть записано в виде |
|
|
dU{x,y) = 0, |
{!') |
где и{х^ у) — дважды непрерывно дифференцируемая неизвестная функция.
Из (1') следует, что интегральные кривые определяются уравне нием и{х,у) = С при всевозможных значениях С.
Для отыскания U заметим, что
^=Р{х,у), |
^ |
= Qix,y). |
(2) |
2. Интегрируя первое равенство в (2) по ж, получим
и= I P{x,y)dx^ip{y),
где (р{у) — неизвестная функция, которую еще предстоит найти.
3. Дифференцируя U по у, имеем
-^ = -JP{x^y)dx-,^iy),
Используя второе равенство в (2), получим уравнение
— P{x,y)dx-\-(p'{y) = Q{x,y).
4. Находим (р{у) и затем U{x,y).
Ответ. Интегральные кривые определяются уравнением U{x^y) = C при всевозможных значениях С
ПРИМЕР. Найти интегральные кривые дифференциального урав
|
нения |
xdy |
— ydx |
^ |
,^. |
|
xdx-^ydy+ |
|
\ |
^ \ |
:^0. |
3 |
|
|
х^ Л-у^ |
|
|
РЕШЕНИЕ.
1.Преобразуем уравнение (3):
^ ^ |
dx^iy^ |
\ |
- Т ^ |
) ^У = О- |
х^ -\-у^ J |
|
х^ -\-у |
|
11.6. Уравнения в полных дифференциалах |
267 |
В данном случае
Р{х,у)= ( х - — L ) , Q{x,y)=\y |
\ |
+ |
х^ -\- у J |
х^ -\-1 |
Эти функции непрерывно дифференцируемы в области х^ + у^ > 0. Кроме того,
Поэтому P{x.,y)dx-\- Q(x,у) dy — дифференциал некоторой функции 17(а;, у) в любой односвязной области J9, не содержащей точку а; = О, 2/ = 0. Следовательно, уравнение (3) является уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде
dU{x^ у) = 0 при (ж, у) е D.
При этом
ди _ |
у |
ди _ |
X |
. . |
'д^~''~ |
х^ + у^' |
'д^~^^ |
х^ + у^' |
^^ |
2. Интегрируя первое равенство в (4) по ж, получим, что при у ^ О
где ^{у) — неизвестная функция, |
которую еще предстоит найти. |
3. Дифференцируя U по у, имеем |
ди |
X |
|
ду |
^2 4- 2/^ + ^'{У)' |
Используя второе равенство в (2), получим |
|
+ ^\у) |
= у + |
После преобразований имеем |
|
268 |
Гл. 11. Дифференциальные уравненил |
4. Отсюда
v'(y) = Y + c,
и, следовательно,
X "4" у |
X |
и{х, у) = — ~ |
arctg - + С, у > О или у <0. |
^ |
У |
Ответ. Интегральные кривые в области у > О или в области у < О определяются уравнением
2 |
У |
при всевозможных значениях С. |
|
Условия ЗАДАЧ. Найти интегральные кривые дифференциаль ных уравнений.
1.(ж 4- 2/) da; + (ж + 2у) dy = 0.
2. (Зж^ Ч- 6ж?/2) dx -f (бж^г/ 4- V ) dy = 0.
3.(2ж + Бу) dx -h (5ж -f Зу2) di/ = 0.
4. |
(2жу 4- Зу^) dx + (ж^ + бжу - Зу^) dy = 0. |
5. |
(Зу2 + 2ж2/ + 2ж) dx -f (бжг/ + ж2 + 3) dy = 0. |
6. |
(ж^ + у^ + 2ж) с^ж + 2ху dy = 0. |
7. |
(ж^ - Зж2/2 4- 2) с/ж - (Зж^у - У^) dy = 0. |
8.(жсЬу 4-shy)dж 4-(жсЬж 4-shж)dг/= 0.
9. 2ж(1 4- i/^2 - у) dx - >/ж2 ~ydy = 0.
|
|
11,7. Уравнения вида F(a:,2/(^\y(^+^^) = О |
269 |
Ответы. |
|
|
|
|
|
1. |
—+ху + у'^ = С. |
2. |
х^ + Зх^у'^ Jry"^ = С. |
3. |
х^ Л- Ъху + у^ = С. |
4. |
х^у 4- Зху^ -у^ |
=С. |
5. |
Зжт/^ + х'^у + Зу + ^2 = а |
6. |
х^ |
|
|
— + ху'^ Л-х^ = С. |
|
|
|
|
о |
|
|
7. |
— - |
•-ж^у^ + 2х + ^ = С. |
8. |
yshx + a;shy = |
a |
9. |
х2 + |
|(:с2 4- уУ/' = а |
10. |
- ^ ^ |
+ In - = |
С. |
|
|
3 |
|
х-у |
у |
|
11.7- Уравнения вида F{x,y^^\y^^'^^^) = О
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти общее решение дифференциального уравнения
ПЛАН РЕШЕНИЯ.
1. Полагая у^^^ = ^(а^)? получим дифференциальное уравнение первого порядка
F{x,p,p')=0.
2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим р = f{x,Ci), где Ci — произвольная посто янная.
3. Так как р — у^^\х)у имеем
yW = /(x,Ci).
Последовательно интегрируя к раз (при каждом интегрировании не забывая о произвольной постоянной), получим ответ
у = 9?(ж,С1,С2,...,Сп), п = к + 1, Ci, Сг,..., Сп — произвольные постоянные.
ПРИМЕР. Найти общее решение дифференциального уравнения
{1-\-х^)у'' + 2ху' = 12х\
