Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Алгебра и начала анализа

Файл:

Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

.pdf

Скачиваний:

1669

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

6 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3731 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

300 Гл. 12. Кратные интегралы

=16 Т	^	f\-^d,=16	\	( - ' )7Г/2		Vs	= 4.
J	siTTif J		\	ism	(pj 7Г/4	2g'
7Г/4	1
Ответ	dxdy	=^ 4.
• / /	yO
D					интегралы.
Условия ЗАДАЧ. Вычислить двойные					интегралы.

1. 11 " dxdy^

2. / / ~ dxdy,

' /* X

3. / / — dxdy,

— dxdy, JJ У

D У

4. / / '^x^ydxdy,-

5./ / — dxdy, JJ У

411dxdy,

dxdy^

I. Il^dxdy,

?. Il^dxdy,

J dx dy^

Ответы. 1. / = ln2.

	X	V	у >0,	2x\
D =	l < y	+ ^ < 2 ,	у >0,	y<-]
D =	X	у	x>0,	Зж
D =	l<-^	+ j < i ,	x>0,	y > -
D =	X	V		X
D =
D =	l < ^ + ^ < 4 , x > 0 ,			y>-).
D =
	1 < ^	+ у < 1 ,	х>а,	y > 0
D =	1 < ^	+ 7 т < 5 ,	x > 0 ,	y>2x
	4	lb
D =	X^	7у2		2x
D =	l < - 9 - + ^ < 5 , x > 0 , y > - 3 - ^
D	1 < — + у 2 < 2 5 , x > 0 , y> 1}
D =l < x ^		+ Y g < 9 ,	2/>0,	y<ix).
D = l < ^ + y ' < 4 ,			2/>0,	2 / < \|
D	a;2	V^		Зж
D	1 < ^ + Y < 3 6 , x > 0 , y > y
	1 < ^ + Y < 3 6 , x > 0 , y > y
2. /	= 31n2. 3. / =		121n2.	4. / = 6.

5.J = 41n2. 6. J = 91n2. 7. / = 21n5. 8. J = 81n3. 9. J = ln2.

10.J = 21n6.

12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

301

12.5.Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти объем тела^ ограниченного по верхностями

gi{x,y)=0

(г = 1,2,...), z = fi{x,y), z = /2{х,у) {f2{x,y) > fi{x,y)).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Объем цилиндрического бруса, ограниченного заданными по верхностями, определяется формулой

V = ЦШх.у) - fi{x,y)]dxdy,

(1)

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2. Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исклю чаем из них Z.

Допустим, например, что координаты точек тела удовлетворяют

неравенствам О < г < f{x,y),	gi{x^y) > О и д2{х,у) ^ 0. Тогда тело
определяется системой неравенств

	gi{x,y)	> 0 ,
	д2{х,у)	< о ,
	0<z<f{x,y).
Исключая Z, получим
{	{х,у):	gi{x,y) > 0 ,
	{х,у):	Р2(ж,у)<0,
		0<f{x,y)

3. Вычисляем двойной интеграл по формуле (1) при /2 = /(а:,у) и / 1 = 0 .

Записываем ответ, не забывая о размерности.
ПРИМЕР 1.	Найти	объем тела,	ограниченного поверхностями
ж =	1 7 у ^ ,	x = 2 v ^ ,	z = l/2-y,	z = 0.

302	Гл. 12. Кратные интегралы

РЕШЕНИЕ.

1.По формуле (1) с /2 = 1/2 — у и Д = О искомый объем равен

^ = 11{\-у) ^^^^'

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2. Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исклю чаем из них Z. В данном случае тело определяется системой нера венств

( X < 1 7 v ^ , а:>2^2^,

0<z<l/2-y

Поэтому

г2у/Т^<х<х< 17V2y,

D=yx,y):

о < 1 / 2-- У, у > о

Здесь неравенство у > О необходимо, так как у стоит под знаком квадратного корня.

3. Вычисляем двойной интеграл:

V =	i--y]	dxdy=	dy / (-^-yjdx	=
	D	0	2 v ^
				1/2

= 1 5 4 / 2 | Q - 2 / ) v ^ d y = l.

Ответ. У = 1 ед. объема.

ПРИМЕР 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

ж2-Ь2/^ + 2х = 0, z = — -y'^, z = 0.

РЕШЕНИЕ.

1.По формуле (1) с /2 = 25/4 - у^ и /i = О искомый объем равен

V = ll(^-y'-0^dxdy,

12.5. Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

303

где D — проекция тела на плоскость XOY.

2. Чтобы найти D, задаем тело с помощью неравенств и исклю чаем из них Z. В данном случае тело определяется неравенствами

Г(^+1)2+^2 <1^

\0<z< 25/4 - 2/2

Из первого неравенства очевидно, что \у\ < 1 и, следовательно, второе неравенство выполняется автоматически (геометрически это озна чает, что проекция поверхности z — 25/4 — у^ на плоскость XOY охватывает круг (х-|-1)2 + 2/2<1). Поэтому

D = {{x,y): (х + 1)2 + 2 / ' < 1 } .

3. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре шать в полярных координатах

X = Q cos (/?,

\ уУ== gsimp.

При этом (^, ip) е D'^ а. искомый объем определяется формулой

V = / / [-г-У^]	dxdy= / / ( — - ^^sin^v?! gdtpdg.
D	D'

4. Чтобы найти область D'^ заменяем в неравенстве, определяю щем область D, X на gcoscp и у ка. gsimp:

{gcos(p + 1)2 4- д^зт"^ (р < 1.

Получаем
г,, j f ^	0<Q<-2cosip,\

Заметим, что из неравенств О < ^ < —2 cos (р следует 7г/2 < (р < 37г/2. 5. Переходим от двойного интеграла к повторному:

	37г/2	-2COSV3
V = / / ( —— ^^sin^ (p\gdgd(p=	/ d(p	/ f —— g^ sin^ (p\ gdg.

7Г/2

304	Гл. 12. Кратные интегралы
Последовательно интегрируя, получаем
37г/2	- 2 cosy?
7г/2
	37Г/2	л4	. M-2COSV.
	/ /9.^л2	л4	. M-2COSV.

7г/2

					37Г/2
				=	/	( — • cos^ (^ — 4 cos"* (^ sin^ (р\					dip = бтг.
					7г/2
Ответ.		У = бтг ед. объема.
Условия ЗАДАЧ. Найти						объемы	тел, ограниченных			заданными
поверхностями.
1-	ж = у^,		X = 2уД,			z = l-y,		Z = 0.
2.	у =	у/х,	у = 2i/x,			Z = 6 - X,		Z = 0.
3.	у = у/х,		2/ =	О,	х = 1,		2; = х4 - у4 - 1,		г =	0.
4.	у = х^,		У =	1,		2; = x2-hy^,		z = 0.
5.	t/ =	б - Зх/2,		2/ =		6 - З х ,	г/ = 0,	z = 6 - x - 2 / ,			2; = 0.
6.	х2 + 2/^=4,				z = xy,		z = 0	( х > 0 , у > 0 ) .
7.	у=	y/xj2,	2/ =	0		2г = 4 - х - 2 2 / ,		2 =	0.
8.	х2 + у^-42/ = 0,					z = 4 - x 2 ,		z = 0.
9.	х2 + у 2 - 2 х		= 0,			z = x24-y^,		z = 0.
10.	х^ + у2 - 2х = О,					Z = 2х,		2: = 4х.

Ответы. 1. У = 4/15. 2. V = 48\/б/5. 3. У = 79/60. 4. V = 40/3. 5. У = 12. б. У = 4. 7. У = 17/5. S. V = Птг. 9. V = 37г/2.

10.V = 27Г.

12.6.Вычисление площадей в декартовых координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти площадь области D, ограниченной линиями /i(x, у) = О, /2(2^,2/) = О (и, возможно, прямыми X — а и х = b или у = с иу = d).

12.6. Вычисление площадей в декартовых координатах

305

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Из определения двойного интеграла следует, что искомая площадь 5 численно равна

IJl-dxdy. (1)

1. Зададим область D неравенствами. Для этого выясним, какие из неравенств

fi{x,y)<0, fi{x,y)>0, f2{x,y)<0 или /2(ж,2/)>0

выполняются для координат точек области D.

Пусть, например, такими неравенствами оказались fi{x,y) < О и f2{x,y)<0. Тогда

Решаем неравенства, определяющие Z), относительно хиу. Получаем

D=l{x,	а < X <Ь,	I
D=l{x,	yi{x) < у < У2{х)
	yi{x) < у < У2{х)

D=Uxy)'	^ ^ ^ ^ ^'	I
\ '	* xi{y) <х< Х2{у)	J *

2. Переходим от двойного интеграла к повторному:

2/2 (ж)

dxdy = dx / dy

D	a	2/1 (x)
или	^	. .

dxdy = dy / dx.

xi{y)

3. Последовательно интегрируем, используя свойства определен ного интеграла.

Записываем ответ, не забывая о размерности.

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ необходимо, разбиваем область на части и ис пользуем свойство аддитивности интеграла.

306	Гл. 12. Кратные интегралы

П Р И М Е Р . Найти площадь области D, ограниченной линиями

х^ + у^ = 12, ж\/б = 2/2 (а:>0).

РЕШЕНИЕ.

1.Зададим область D неравенствами. Область не может нахо диться вне круга, так как тогда она неограничена. Область не может находиться слева от параболы, так как в этом случае ее точки могут иметь отрицательные абсциссы, что исключено условием х > 0. Сле довательно,

Решаем неравенства, определяющие Z>, относительно хпу. Получаем

0.2

^< X < ч/12 - у2.

Следовательно, y'^/V^ < y/l2	— y^. Отсюда ~\/б <у< \/б. Итак,
D=< (х,2/):	-у/Е < 2/ <	\/б,	1
D=< (х,2/):	2/VV6 <х<	х/12 -	у2

2. Вычисляем площадь области D по формуле (1). Переходя от двойного интеграла к повторному, получим

	^	А/12-2/2
S =	dxdy =	dy / da:.
^	-V6	yVVe

3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем:

S= f dy

f dx= f ( ^ х / Т г " ^ - - ^ " ) dy = 37r + 2.

Ответ. 5 = (Зтг -h 2) (ед. длины)^.

	12.7. Вычисление площадей в полярных координатах							307
Условия ЗАДАЧ.				Найти		площади фигур, ограниченных		задан
ными	линиями.
1.	2/ = 2/а;,	у = ^е",			у = 2,		у = А.
2.	у = 1/х,	2/ =	2е^,		у = 1,		у = 2.
3.	у = 2/ж,	у = 2^/x,			ж = 4.
4.	х2 4-2/2 =	2,	у = -х'^			(2/<0).
5.	2/ = >/ж,	2/ =	О,	ж = 4.

6.X = 2 — 2/^, X = —у.

7.	2/ = sinx,	y = cosx, ж = О, ж = 7г/4.
8.	2/ = 2а:^ -	1, у = ж.

9.х = А/4 - 2/2, ж = 2/V3.

10. 2/ = In а:, у = е/х,				х = 1.
Ответы.	1. 5	=	2.	2. 5 =	1.	3. 5 = 28/3 -	In 16.	4. 5 =
= 7г/2 + 1/3.	5. 5	=	16/3. 6. 5 =		7/6.	7. 5 = v ^ -	1. 8. 5 =	27/24.

9.5 = 27Г/3 - \/3/б. 10. 5 = е - 1.

12.7.Вычисление площадей в полярных координатах

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти площадь области D, ограниченной

двумя окруэюностями
2/2 + ai2/ + hx	+ а:^ = О,		2/^ + «22/ + ^2^:^ + ж^ = О,
(fli = 0 , 02 = О,	6162 > О	или	bi = 0 , 62 = О,	aia2 > 0)
и двумя прямыми
тп\у Н- kix = О, (mf + kl ^		0),	Ш22/ + /i^2a: = О,	( т \| + А:^ т^ 0).

308	Гл. 12. Кратные интегралы
	ПЛАН РЕШЕНИЯ. ИЗ определения двойного интеграла следует, что
искомая площадь S численно равна
	5 = И I- dxdy.	(1)

1. Так как область D ограничена окружностями и прямыми, про ходящими через начало координат, поставленную задачу проще ре шать, переходя к полярным координатам

X — р cos V?,

у= р sin (^

изаписывая уравнения границ в полярных координатах.

При этом область D перейдет в область D', а искомая площадь будет равна

5 = / / р dp dip.

2. Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:

\ ' * Pl{^) < Р < Р 2 Ы J * 3. Переходим от двойного интеграла к повторному:

S = dip / pdp

и вычисляем его, пользуясь свойствами определенного интеграла. Записываем ответ, не забывая о размерности.

ПРИМЕР . Найти площадь фигуры, ограниченной данными лини ями

2/2-42/ + а:2=0, y^-Sy + x^ =0,

^ ^ ^ '

^ " ^'

РЕШЕНИЕ.

X = pcosip, у = psimp.

12.7. Вычисление площадей в полярных координатах		309
При этом область D перейдет в область JD', ограниченную линиями
7Г	7Г
g = 4:Siinp, Q = Ssmip, ^ = "^ ,	^ = "2 *
А искомая площадь будет равна
5 = / / gctgdip.

2. Зададим неравенствами область D' в полярных координатах:

I4 sin v? < ^ < 8 sm (^ J

3.Переходим от двойного интеграла к повторному:

7г/2

8sin(^

S =

dip /

gdg.

7г/6

4 81П<^

Последовательно интегрируя, получим

7г/2

8sin(^

7г/2

Q .

7г/2

S =

d(p

^ d ^ =

dip = 24: sin^ (^dv? = 47Г + ЗУЗ.

14 sin (^

«^

7г/6 4sinv?

7г/6

Ответ.

5 =

(47Г + 3\/3)

(ед. длины)^.

Условия

ЗАДАЧ.

Найти

площади

фигур^ ограниченных

задан

ными

линиями.

у'^-3у

+ х^=0,

2/2-52/ +ж^ = О,

y = x/V3,

х = 0.

2/^ +

32/ +

а^^ =

О,

2/^ + % + а^^ =

О,

2/ =

а:,

ж = 0.

у'^ -Зу

+ х'^ =0,

2/^ -

72/ + ^2 =

О,

2/ =

VS^,

х = 0.

2/^ + 32/ + ^2 =

О,

2/^ + ^2/ + ^2 =

О,

у = х,

у =

х/л/З.

2/^ -

32/ + ic^ =

О,

2/^ -

^2/ Н- а^^ =

О,

у =

х/\/3,

х =

\/Зх.

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3731 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Алгебра и начала анализа

#
02.05.2014270 Кб9Solution v2.00.S60v3 SymbianOS 9.sis
#
02.05.20141 Мб111Билеты по матану [3 семестр].doc
#
02.05.2014777 Кб143Булгаков Н.А., Осипова И.А. Основные законы и формулы по математике [2007].pdf
#
02.05.20146 Мб1669Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник).pdf
#
02.05.2014348 Кб147Коваленко Л.И. Элементы векторного анализа.pdf
#
02.05.201419 Мб10598Кудрявцев Л.Д. Математический анализ [том 1].pdf
#
02.05.201415 Мб9044Кудрявцев Л.Д. Математический анализ [том 2].pdf
#
02.05.20144 Мб170Курс высшей математики [часть 1].doc
#
02.05.20143 Мб127Курс высшей математики [часть 2].doc