§ 1. Введение в математический анализ

1.1. Элементарные функции. Следующие функции действительной переменной называются основными элементарными функциями:

1. Постоянная функция: , (рис. 1);

2. Степенная функция: , (рис. 2.a, 2.б, 2.в);

3. Показательная функция: , , (рис. 3.a, 3.б);

4. Логарифмическая функция: , , (рис. 4.a, 4.б);

. 5. Тригонометрические функции: , , , (рис 5.a, 5.б, 5.в, 5.г);

6. Обратные тригонометрические функции: , ,

, (рис. 6.a, 6.б, 6.в, 6.г).

О сновные элементарные функции, их области определения, свойства, графики изучаются в средней школе. Повторению этого материала посвящены задания 101-110.

Функция, полученная в результате последовательного выполнения – композиции функций и , называется сложной функцией:

.

Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций, примененных к ним, и конечного числа их композиций.

Например, функция , где , называется линейной, является элементарной, так как она получена с помощью сложения функции, путем умножения постоянной функции на степенную функцию , и постоянной функции .

Область определения функции обозначают или просто .

Графиком функции называется множество

.

всех точек координатной плоскости с координатами ( ), причем аргумент пробегает всю область определения .

Преобразование графиков. При построении графиков функции часто используют следующие простые геометрические рассуждения. Если Г - график функции , то:

1) график функции есть зеркальное отражение графика Г относительно оси ;

2) график функции - зеркальное отражение графика Г относительно оси ;

3) график функции - смещение графика Г вдоль оси на величину а;

4) график функции - смещение графика Г вдоль оси Oy на величину .

5) график функции , - сжатие графика Г в раз (при ) или растяжение в раз (при ) вдоль оси ;

6) график функции , , - растяжение графика Г в b раз (при ) или сжатие в раз (при ) вдоль оси .

Пример 1. Найти область определения для данных функций и построить их графики.

а) ; б) .

Решение. а) Функция определена, если или . Так как корни уравнения равны и , неравенство справедливо в отрезке .

Итак, : , значения функции . Составим таблицу значений функции и построим ее график

	-2	-1	0	1	2	3	4
	-2	0,2	0,8	1	0,8	0,2	-2

Заметим, что эта кривая – часть окружности, в чем легко убедиться , или – окружность с

ц ентром в точке , радиусом . Так как графиком данной функции является верхняя половина этой окружности (см. рис 7.a).

б)Логарифмическая функция определена для положительных аргументов, т. е. , значит D: . График можно построить по точкам, можно преобразовывая график функции , сместив его влево на 1 и сжав в 3 раза вдоль оси (см. рис. 7.б) .