§ 2. Производная и ее приложения

2.1. Производной функции называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то производная существует и функция называется дифференцируемой в точке . Производная обозначается также или . Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования функций. Пусть - постоянная, , - функции, имеющие производные.

1. .

2. = .

3. .

4. .

5. , .

6. Правило дифференцирования сложной функции. Если функция дифференцируемая по , а функция - по x, то сложная функция имеет производную .

Таблица производных элементарных функций

1. .

1а. . 1б. .

2. . 2а. .

3. . 3а. .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. . 11. .

12. (вывод этой формулы дан ниже).

Производные второго порядка. Производной второго порядка (второй производной) от функции называется производная от ее производной, т. е.

.

Вторую производную также обозначают или . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д. Производную -го порядка обозначают или .

Пример 1. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные следующих функций:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) .

Решение. 1) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени: . Тогда

.

2) Записываем данную функцию в виде степени: и вычисляем: .

3) Применив формулу 4 правил дифференцирования, находим:

.

4) Дифференцируя функцию как сложную находим производную:

.

5) В соответствии с формулой 5 правил дифференцирования получаем:

.

6) По аналогии с примером 3 находим:

.

7) Так как данная функция - показательная, то, согласно формуле 2

Степенно - показательная функция. Выведем формулу для производной степенно - показательной функции , считая что и дифференцируемые функции и .

Решение. Логарифмируя равенство и дифференцируя обе части полученного равенства , находим: . Следовательно, . Таким образом, получили .

Замечание. Степенно – показательная функция дифференцируется как степенная плюс как показательная. Например, производная функции , равна

.

2. 2. Геометрические приложения производной

Теорема. Если кривая задана уравнением , то значение производной в точке , равно угловому коэффициенту касательной к кривой в точке : , где (см. рис 9).

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

или .

Определение. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

,

причем знак “плюс” соответствует острому углу θ, а знак “минус” – тупому.

Если , то касательные — взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

Пример2. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

Решение. График функции – парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая с уравнением параллельны, значит, их угловые коэффициенты равны:

, , .

Следовательно, - абсцисса точки касания параболы и прямой , – ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид:

или . (рис.10)