Простейшие преобразования

1. ;

2. ;

3. .

Таблица дифференциалов

1. ; 7. ;

2. ; 8. ;

3. ; 9. ;

4. ; 10. ;

5. ; 11. ;

6. ; 12. .

Пример 6. Найти интеграл .

Решение.

Внесем x под знак дифференциала xdx = , прибавим 1 и

умножим на (-1) под знаком дифференциала и перед интегралом, чтобы

выражение не изменилось. Тогда интеграл примет вид

.

Метод 3. Интегрирование по частям

Способ интегрирования по частям основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или

. (3)

Получили формулу (3) интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Формула (3) используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение f (x)dx можно так представить в виде udv , что стоящий в правой части интеграл при надлежащем выборе выражение u и dv может оказаться проще исходного интеграла. Как правило, подынтегральное выражение f(x)dx представлено в виде произведения различных по типу функций, например: , , и т.д. При этом следует иметь ввиду, что к u следует относить множители, которые упрощаются при дифференцировании. В соответствии с этим можно предложить следующую вспомогательную таблицу:

f (x)dx	u	dv
, , ,	, , ,	- где многочлен любой степени
, , ,		, , ,

Пример 7. Найти интеграл , применив интегрирование по частям.

Решение.

Таблицей можно воспользоваться и в случае если подынтегральная функция содержит либо логарифмическую, либо обратно - тригонометрическую.

Пример 8. Найти интеграл , применив интегрирование по частям.

Решение.

! Формулу интегрирования по частям можно применять многократно, пока не упростятся подынтегральные функции, которые приведут к табличному интегралу.

Пример 9. Найти интеграл , применив интегрирование по частям.

Решение.

.

Как видно из примера 9 происходит неоднократное, последовательное применение формулы интегрирования по частям, что позволяет в итоге постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Иногда после многократного, особенно после двукратного применения формулы интегрирования по частям, приходим в правой части к выражению, содержащему исходный интеграл, т.е. получаем уравнение с искомым интегралом в качестве неизвестного.

Такие интегралы называют циклическими.

Пример 10. Найти интеграл .

Решение.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Таким образом, искомый интеграл найден путем преобразования исходной левой части равенства и полученной правой.

Пример 11. Найти интеграл .

Решение.

Метод 4. Метод подстановки.

Если подынтегральная функция такова, что трудно выделить производ-

ную от какого либо промежуточного аргумента или его просто нет, то в этом

случае переменную интегрирования лучше заменить некоторой другой

функцией, полагая , дифференцируя, получаем , (предполагается, что и непрерывны). Тогда

,

где новая функция от аргумента .

Если последний интеграл в результате такой замены свелся к таблич-

ному и равен + C, то заданный интеграл определяют путем возвращения к переменной х, т.е. из уравнения надо найти обратную функцию , и заменить на φ(х).

С помощью подстановок такого рода удается избавится от корня, упро-

стить подынтегральную функцию и свести интеграл к табличному. Однако,

общего рецепта для выбора функции нет. В каждом конкретном случае

её подбирают индивидуально по виду подынтегрального выражения.

Пример12. Найти интеграл .

Решение.

.

Все дальнейшее изложение темы «Неопределенный интеграл» будет состоять в основном из рассмотрения различных подстановок.

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Следовательно, интегралы типа (I) и (II) преобразованием знаменателя сводятся к основным табличным интегралам № 8-11.

Пример 13. Найти неопределенный интеграл

Решение.

, применяя табличный интеграл получаем

Для интегралов типа (III) и (IV), предварительно введем два вспомогательных интеграла, которые были получены одним из методов интегрированияметодом замены переменной:

(3),

(4),

где , в нашем случае, квадратный трехчлен .

Для нахождения данных интегралов необходимо в числителе, путем алгебраических выражений выделить производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и представить в виде суммы двух интегралов сводимых к табличным.

Пример14. Найти неопределенный интеграл

Решение.

Данный интеграл разбиваем на сумму двух, затем в первом числителе получаем производную знаменателя :

Первый интеграл находим по вспомогательной формуле (3), второй интеграл сводится к интегралу типа (I):

,

.