Интегрирование дробно-рациональных функций.

Рациональной дробью называется дробь вида ,

где и  многочлены, n и m их степени.

Простейшими рациональными называются правильные дроби ( где n < m ) следующего вида: ; ; ; .

Интегрирование первых трех дробей производится непосредственным

способом, для последней дроби существует рекуррентная формула

.

Чтобы проинтегрировать неправильную дробь ( где n > m ) необходимо делением числителя на знаменатель выделить целую часть и получить правильную дробь. Для полученной правильной дроби применить метод неопределенных коэффициентов. При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные.

Теорема: Если  правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой, представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)^…(x - b)^(x² + px + q)^…(x² + rx + s)^ ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример 15. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Т.к. ( , то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

В итоге имеем:

Пример 16. Найти неопределенный интеграл

.

Решение.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x⁵ – 8x⁴ – 25x³ + 20x² – 76x – 7 3x³ – 4x² – 17x + 6

6x⁵ – 8x⁴ – 34x³ + 12x²

2x² + 3

9x³ + 8x² – 76x - 7

9x³ – 12x² – 51x +18

20x² – 25x – 25

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

3x³ – 4x² – 17x + 6 x - 3

3x³ – 9x² 3x² + 5x - 2

5x² – 17x

5x² – 15x

- 2x + 6

-2x + 6

0

Таким образом 3x³ – 4x² – 17x + 6 = (x – 3)(3x² + 5x – 2) =

(x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:

=

Пример 17. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Найдем неопределенные коэффициенты:

Тогда значение заданного интеграла: