5. Свободные и вынужденные колебания стержневых систем
Различают свободные и вынужденные колебания системы. Если упругую систему каким-либо внешним воздействием вывести из состояния устойчивого равновесия, а затем выводящую из этого состояния причину убрать, то система будет совершать колебания около положения устойчивого равновесия. Такие колебания называются свободными. Во время таких колебаний происходит непрерывный переход кинетической энергии в упругую и наоборот.
Неизбежные различного рода внешние и внутренние сопротивления движению системы непрерывно поглощают часть энергии системы, в результате чего процесс колебаний будет затухающим.
Свободные периодические колебания, совершаемые по гармоническому закону с одной частотой, называются собственными колебаниями, а соответствующие им формы колебаний – собственными или главными формами.
Если на систему действует непрерывно какая-то динамическая нагрузка, то она будет сообщать системе энергию, вызывать ее колебания. Такие колебания называются вынужденными.
10. Вынужденные колебание с одной степенью свободы при действии вибрационной нагрузки.
12. Определение динамических коэффициент.
– динамический коэффициент, который показывает отношение максимального перемещения при действии динамической нагрузки к перемещению при статическом действии той же нагрузки.
Собственные
колебания системы с частотой
существенно
влияют на перемещение только вначале.
По прошествии времени, равного нескольким
периодам, они обычно затухают, и остаются
только колебания с частотой
(так называемые установившееся или
стационарные вынужденные колебания).
Значение динамического коэффициента
изменяется с изменением соотношения
частот вынужденных и собственных
колебаний.
Когда
эти частоты равны, т.е. возникает явление
резонанса и коэффициент динамичности
.
Деформации сооружения могут принимать
значения, во много раз превышающие их
статическую величину.Зависимость
динамического коэффициента от отношения
частот можно изобразить графически.
Таким
образом, при действии возмущающей
гармонической нагрузки резонанс
возникает только при
.
Если период возмущающей силы, изменяющейся
по гармоническому закону, является
кратным периода собственных колебаний
системы, т.е. если
,
где
– целое число не равное I,
то резонанс не возникает.
19. Вынуждение колебания с n-степенями свободы при действии вибрационной нагрузки.
Пусть
на упругую балку с двумя сосредоточенными
массами действует периодическая
возмущающая нагрузка гармонического
типа
(рис. 3). Основная задача расчета
заключается в определении максимальных
внутренних усилий и перемещений в балке
и проверка на резонанс. П
еремещения
масс
и
от действия инерционных сил и возмущающей
нагрузки выражаются следующими
зависимостями:
.
или
(1)
Наличие
в уравнениях свободных членов вида
дает частый интеграл того же вида, но
с иной амплитудой. Будем искать этот
частый интеграл в виде:
;
Тогда
Подставим
полученные выражения производных и
перемещений в уравнения (1) и сократим
на
.
или
.
Преобразуем
систему уравнений к такому виду
(2)
Каждую
максимальную амплитуду
и
можно представить как результат действия
максимальных сил инерции
и
и амплитудного значения возмущающей
нагрузки
.
Максимальные
силы инерции определяются при
,
т.е.
,
Подставляя
в (2) вместо
величины
,
получаем систему канонических уравнений
для определения максимальных сил
инерции.
.
Решая эти уравнения при известной частоте возмущений нагрузки, получаем значения максимальных инерционных сил.
В
случае, когда частота возмущающей
нагрузки
совпадает с одной из частот собственных
колебаний, наступает явление резонанса.
Зная максимальные силы инерции, можно определить все внутренние усилия в системе в состоянии наибольших отклонений.
,
где
,
,
– внутренние усилия в системе от
действия амплитудного значения
возмущающей нагрузки;
,
,
– усилия в системе от единичных сил,
приложенных по направлению сил инерции.