35.Числовые характеристики системы двух св: Моменты начальные и центральные, ковариация.
Опр.
Начальным моментом k+S
порядка системы двух СВ (X;Y)
называется K,S=M[XkYS].
Если система для двух дискретных СВ, то
.
Если (X;Y) система двух непрерывных СВ, то
.
Опр.Центральным
моментом порядка k+S
системы двух СВ (X;Y)
называется
.
а) Если (X;Y) система двух дискретных СВ, то
б) Если (X;Y) система двух непрерывных СВ, то
На практике чаще всего встречаются моменты I-го и II-го порядка.
Точка
с координатами
на плоскости OXY представляет
собой характеристику положения, точек
X, Y,
а их разброс рассеивания происходит
вокруг точек
.
.
Рассмотрим
отдельно.
– ковариация СВ .
Механическая интерпретация.
Когда
распределение вероятностей на плоскости
ХOY трактуется, как распределение
единичной массы на этой плоскости, точка
– центр масс распределения, дисперсии
и
– моменты инерции распределения или
относительно точки
в направлении осей OX и OY
соответственно, а ковариация – центральный
момент инерции распределения масс.
Теорема:
Если СВ X и Y
независимы, то
Доказательство:
Для независимых СВ
,
т.к. X и Y
независимы.
.
Замечание
Попутно доказано, что в общем случае
вычисляется по следующей формуле:
,
Замечание.
характеризует не только степень
зависимости СВ, но также их рассеявание
вокруг точки центра масс, но к сожалению
размерность
равна произведению размерностей X
и Y. Чтобы получить
безразмерную величину, характеризующую
только зависимость, а не разброс
ковариацию делят на произведение
.
39. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
для СВДТ:
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
Y=(X)
Y y1 … ym
P 
… 
1
X –2 –1 0 1 2
P 0,1 0,15 0,3 0,05 0,4
Y –8 –1 0 1 8
P 0,1 0,15 0,3 0,05 0,4
2 X –2 –1 0 1 2
P 0,1 0,15 0,3 0,05 0,4
Y 0 1 4
P 0,3 0,2 0,5
Пусть теперь СВ X – непрерывна и функция – функция плотности. Y=(X)
Найдем закон распределения СВ Y, но при этом ограничимся случаем, когда функция (X) строго монотонна, непрерывна и дифференцируема в интервале (a, b) всех возможных значений СВ X.
СВ
Y
будет определяться по формуле
.
монотонно
возрастает на (a,
b).
–
функция
обратная к функции
.
.
1)
– монотонно возрастает
2) – монотонно убывает на (a; b)
Дифференцируя по y, получим
45. Теореме Чебышева. Теорема Бернулли. Цпт.
Теорема
(Чебышева):Если
– независимы и существует С > 0,
такая что
,
К = 1, 2, …, n, тогда
:
Доказательство:
Рассмотрим
и применим к СВ
второе неравенство Чебышева.
.
.
В силу аддитивного свойства дисперсии, получаем
,
.
Следствие:
Если
– независимы и одинаково распределены,
т.е.
,
а
,
где k= 1, …, n,
тогда
.
Замечание. Предельные утверждения, сформулированные в теореме Чебышева и следствии к этой теореме носят название закона больших чисел (ЗБЧ). ЗБЧ утверждает, что с вероятностью приближающейся при n к 1, среднее арифметическое независимых слагаемых при определенных условиях становятся близким к константе.
Из утверждения последнего следствия получаем ЗБЧ в схеме Бернулли.
Теорема
(Бернулли): Пусть
– число успехов при n
независимых испытаниях с вероятностью
0 < p < 1 в каждом
испытании, тогда
:
.
Доказательство:
Представим
в виде суммы независимых СВ
,
где
,
или при i-ом
испытании произошел успех и
,
если при i-ом
испытании произошел неуспех.
.
Применяя следствие к теореме Чебышева, получаем утверждение к теореме Бернулли.
Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы (ЦПТ).
Известно, что нормально распределенные СВ широко распространены на практике, объяснение дал Ляпунов (ЦПТ).
Если СВ Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых СВ влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то СВ Х имеет распределение близкое к нормальному.
Приведем формулировку ЦПТ без доказательства.
Теорема(ЦПТ):Если
СВ в последовательности
,
n
= 1, 2, … независимы, одинаково распределены
и имеют конечные
,
, то
:
где
–
стандартизованное среднее арифметическое,
n-независимых
СВ в последовательности.
Замечание
Следствиями ЦПТ являются локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласса.
Общее: и для 50 и для 51:
Пусть неизвестная функция генеральной совокупности зависит от некоторого параметра . Нужно по наблюдениям оценить параметр. Для построения оценок используются статистики – функции от выборочных значений.
Примеры
статистик.
.
Эта
оценка
.
Будет
рассматриваться, как приближенное
значение параметра
.Замечание.
Как правило, для оценки параметра
можно использовать несколько статистик,
получая при этом различные значения
параметра
.
Как измерить «близость» оценки
к истинному значению
?
Как определить качество оценки?
Комментарий: Качество оценки
определяется не по одной конкретной
выборке, а по всему мыслимому набору
конкретных выборок, т.е. по случайному
выборочному вектору
,
поэтому для установления качества
полученных оценок моментов
,
следует во всех этих формулах заменить
конкретные выборочные значения
на СВ Xi.
;
;
.
Качество оценки устанавливают, проверяя, выполняются ли следующие три свойства (требования).Требования, предъявляемые к точечным оценкам:
1.
Несмещенность, т.е.
.
Это свойство желательно, но не обязательно. Часто полученная оценка бывает существенной, но ее можно поправить так, что она станет несмещенной.
Иногда
оценка бывает смещенной, но асимптотически
несмещенной, т.е.
.
2.
Состоятельность, т.е.
.
Это свойство является обязательным. Несостоятельные оценки не используются.
3. Эффективность.
а)
Если оценки
и
– несмещенные, то
и
.
Если
,
то оценка
более эффективна, чем
.
б)
Если оценки
и
– смещенные, тогда
и
.
Если
,
то оценка
более эффективная, чем
.
Где
– средний квадрат отклонения оценки.
Рассмотрим использование этих свойств на примерах выбора оценок МО и дисперсии:
50. Выборочное среднее: является несмещенной и состоятельной оценкой МО генеральной совокупности (X1 ,…, Xn ), причем каждое Xi совпадает с m и 2.
а)
Несмещенность.
По определению выборочного вектора
,
причем Xi
– независимые в совокупности СВ,
тогда вычислим
M[Xсред]=M[(1/n)Xi]=(1/n)M[Xi]=
(1/n)M[Xi]=(1/n)nm
.
D[Xсред]=D[(1/n)Xi]=(1/n2)D[Xi]=
(1/n2)D[Xi]=(1/n)n2=2/n
б)
Состоятельность Воспользуемся
неравенством Чебышева:
Применим
это неравенство к
При
n
,что
и доказывает состоятельность
.