23 Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа

Теорема.

При равномерно по

Замечание.

– затабулирована.

Ее значения приводятся только для 0 x3,5.

Ф(–x)=1– Ф(x)

Пример.Вероятность изделию некоторого производства оказаться бракованным равна 0,005 (p = 0,005).Чему равна вероятность, что из n = 10000 наудачу взятых изделий, бракованных окажется не более 70 (m = 70).

– ?

24.Геометрическое распределение

Опр.СВДТ Х имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, m, …, а вероятности этих значений

Комментарий Вероятности P_m для последовательных значений m образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q.На практике геометрическое распределение появляется в следующих условиях. Пусть производится ряд независимых испытаний (опытов) с целью получения какого-то результата (“успеха”) А. При каждом опыте “успех” достигается с вероятностью p.

СВ Х – это число безуспешных опытов до первой попытки, в которой появляется результат А.

Ряд распределения имеет следующий вид.

X 0 1 2 … m ….

P p qp q²p ... q^mp …

Найдем числовые характеристики СВ Х распределенной по геометрическому закону.

; m_X=q/p

;

;

На практике чаще приходится рассматривать не СВ Х, имеющую геометрическое распределение, а

Y=X+1 – это число попыток до первого успеха, включая удавшуюся.Ряд распределения

Y 1 2 … m ….

P p qp … q^m–1p …

–геометрическое распределение,сдвинутое на 1 (геометрическое плюс1).

m_Y=M[X+1]=M[X]+1=q/p+1=1/p

D_Y=D[X+1]=D[X]=q/p²

25. Равномерное распределение

Опр. СВНТ Х называется распределенной равномерно на [a,b], если f_X(x)=0 (при x[a,b]) f_X(x)=C (при x[a,b]), X~R(a,b).

Найдем константу С.

; ;

C=1/(b–a).

Пример.Шкала измерительного прибора проградуированных в некоторых единицах. СВ Х – ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления, то она будет иметь равномерное распределение на (-1/2 ; 1/2).Найдем m_X, D_X, _X – ?

Решение.

Замечание.

Моды равномерное распределение не имеет, а медиана совпадает с МО. h_X=m_X =(a+b)/2.

Найдем функцию распределения и построим ее график. F_X(x)=P{X<x}

1)Случай .

2)Случай

3)Случай

29. Совместная функция распределения

Пусть на одном и том же вероятностном пространстве (,A,P) задано n СВ, , совокупность – называется многомерной (n-мерной) СВ или случайным вектором.

Совместная функция распределения:Рассмотрим в одном и том же вероятностном пространстве (,A,P) набор СВ . Так как множество , таких пересечения , поэтому существует вероятность этого события, которая называется многомерной функцией распределения. Замечания:1.В дальнейшем ограничимся случаем двух случайных величин .

2. Функция – вероятность того, что случайная точка попадает в бесконечный квадрант с вершиной в точке .

С помощью F, можно вычислить вероятность попадания случайной точки в полуполосу или в прямоугольник.

а)

б)

в)

Свойства.

1. по каждому аргументу не убывает и непрерывна слева.

2. .

3. .

4. а) При становится функцией распределения компоненты x.

.

б) При становится функцией распределения компоненты y.

.

34. Мультипликативные свойства математических ожиданий, аддитивное свойство дисперсии Теорема. Если СВ X и Y независимы, то M[XY]=M[X]*M[Y]. Доказательство: Ограничимся случаем двух дискретных СВ принимающих конечное множество значений, тогда

В силу аддитивности МО,

Так как СВ независимы, то

.

Следствие: Если СВ – независимы, то (доказательство проводится методом математической индукции).

Из мультипликативного СВ МО  аддитивное свойство дисперсии.

Теорема. Если СВ X и Y независимы, то D[X+Y]=D[X]+D[Y].

Доказательство: D[X+Y]=M[((X+Y)–(m_X – m_Y))²]= M[((X– m_X)+( Y – m_Y))²]=

M[(X– m_X)²+ 2(X– m_X)( Y – m_Y)+ (Y – m_Y)²]= D_X+D_Y+2 M[(X– m_X)(Y – m_Y)]

Так как X и Y независимы, то X– m_X и Y – m_Y независимы

D[X+Y]=D_X+D_Y+2 M[(X– m_X)(Y – m_Y)], где

X– m_X=M_X – m_X=0 и M_Y – m_Y=0  D[X+Y]= D_X+D_Y .Следствие: Если СВ X₁, X₂ ,..,X_n – независимы, то

37. Условное МО . Регрессия. Опр. Условным математическим ожиданием одной из СВ входящих в систему (X; Y) называется ее МО вычисленное при условии, что другая СВ приняла определенное значение. Замечание. То есть МО найденное на основе условного закона распределения. Если СВ дискретные, то

Если СВ X и Y непрерывные, то

Опр M[YX=x]=(x) называется регрессией Y на x.

M[XY=y]=(y) называется регрессией X на y.

Графики этих зависимостей от x и от y называются линиями регрессии или кривыми регрессии.

Замечание. Для независимых СВ линии регрессии Y на x и X на y параллельны координатным осям так как МО каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.

Линии регрессии могут быть параллельны координатным осям и для зависимых СВ, когда МО каждой из них зависит от того, какое значение приняла другая.

Так как все моменты начальные и центральные любых порядков представляют собой МО, то можно говорить об условных моментах. Например об условных дисперсиях D[YX=x], D[XY=y],.

38.Двумерные нормальные распределения. Опр.Нормальным законом распределения на плоскости называется распределение вероятностей двумерной СВ (X, Y), если

Итак,нормальный закон на плоскости определяется 5-ю параметрами: m_X; m_Y; _Y; _Y; _XY . Убедимся в том, что если компоненты X и Y не коррелированны, то они тогда и не зависимы. _XY=0

Замечание: Для нормально распределенных компонент двумерной СВ понятие независимости и некоррелированности равносильны.

Найдем условные законы распределения СВ X и Y воспользовавшись формулами.

.

.

Как легко видеть, каждый из условных законов распределения является также нормальных с условным МО и условной дисперсией вычисляемым по формуле:

Замечание. Из двух формул для условного МО видно, что для системы нормально распределенных X и Y, линии регрессии Y на x и X на y представляют собой прямые линии, то есть регрессия всегда линейна.

В геометрической интерпретации график линейной формулы плотности представляет собой холмообразную поверхность.

.

Сечение поверхности плоскостями параллельными плоскости XOY представляют собой эллипсы.