Свойства соединения

Свойство 1. Имитация выбора.

С помощью оператора соединения найдём _A=a(r) для отношения r(R). Для этого определим отношение s(A) с одним единственным кортежем t таким, что t(A) = a. Тогда r  s = _A=a(r).

Доказательство

r  s = {t | t_r  r, t_s  s, t_r = t(R), t_s = t(A)} =

= {t | t_r  r, t_r = t(R), t(A) = a} =

= {t | t(A) = a } = _A=a(r).

Свойство 2. Обобщённая операция выбора.

Введём новое отношение s(A) с k кортежами t₁, t₂,…, t_k, где t_i(A) = a_i и a_i  dom(A), i =1, 2,…, k. Тогда r  s = _A=a1(r) _A=a2(r) … _A=ak(r).

Свойство 3. Коммутативность оператора соединения.

Из определения следует, что r  s = s  r.

Свойство 4. Ассоциативность оператора соединения.

Для отношений q, r, s (q  r)  s = q  (r  s). Следовательно, последовательность соединений можно записывать без скобок.

Свойство 5. Многократные соединения.

Пусть r₁(S₁), r₂(S₂),…, r_n(S_n) – отношения, R = S₁S₂…S_n. Обозначим S – последовательность схем S₁, S₂,…, S_n. Пусть t₁, t₂,…, t_n – последовательность кортежей, t_i r_i, i = 1, 2,…, n.

Определение. Кортежи t₁, t₂,…, t_n соединимы на S, если существует кортеж t на R, что t_i = t(S_i) для каждого i = 1, 2,…, n. Кортеж t называется результатом соединения кортежей t₁, t₂,…, t_n на S.

Пример

r₃ (A C)

a1	c2
a2	c2

r₁ (A B)

a1	b1
a1	b2
a2	b1

r₂ (B C)

b1	c2
b2	c1

Кортежи <a₁ b₁>, <b₁ c₂>, <a₁ c₂> соединимы с результатом <a₁ b₁ c₂>, а кортежи <a₂ b₁>, <b₁ c₂>, <a₂ c₂> – c результатом <a₂ b₁ c₂>:

r₁  r₂  r₃ = (A B C)

a1	b1	c2
a2	b1	c2

Конец примера

Если в определении принять n=2 и если кортежи t₁ и t₂ соединимы на S=S₁, S₂ с результатом t, то t₁=t(S₁), t₂=t(S₂), следовательно, tr(S₁) r(S₂). Обратно, если tr(S₁) r(S₂), то должны существовать t₁ и t₂ в r(S) такие, что t₁=t(S₁), t₂=t(S₂), то есть они соединимы на S с результатом t. Следовательно, r(S₁) r(S₂) состоит из результатов соединений соединимых на S кортежей t₁ и t₂ .

Лемма. Отношение r₁  r₂ … r_n состоит из всех кортежей t, которые являются результатом соединения соединимых на S кортежей t_i r_i, i = 1, 2,…, n.

Не каждый кортеж каждого отношения может войти в соединение.

Определение. Отношения r₁, r₂,…, r_n полностью соединимы, если каждый кортеж в каждом отношении является членом списка соединимых на S кортежей.

Пример

Из предыдущего примера <a₁ b₂> r₁, <b₂ c₁> r₂ не соединимы. При добавлении к r₃ кортежа <a₁ c₁> отношения становятся полностью соединимыми с результатом

r₁  r₂  r₃ = (A B C)

a1	b1	c2
a1	b2	c1
a2	b1	c2

Конец примера

Свойство 6. Проекция соединения.

Свойство показывает связь проекции и соединения. Похоже, что они взаимообратны, но это не так.

Пусть r(R) и s(S) – отношения, q = r s, RS – схема q. Пусть r = _R(q), тогда r  r (для любого кортежа t из отношения q верно t(R) r, а r =t(R) t q).

В

r (A B)

a1	b1
a1	b2

ключение может быть собственным:

s (B C)

b1

c1

rs (A B C)

a1

b1

c1

М

r (A B)

a1	b1
a1	b2

s (B C)

b1	c1
b2	c2

rs (A B C)

a1	b1	c1
a1	b2	c2

ожет быть равенство (r = r):

Ясно, что равенство может быть при соединении полностью соединимых отношений, но может быть и без этого.

Если s = _S(q), то r = r и s = s тогда и только тогда, когда r и s – состоят из полностью соединимых кортежей, то есть полностью соединимы.

Свойство 7. Соединение проекций.

Поменяем местами проекции и соединения. Пусть q – отношение со схемой RS, r = _R(q), s = _S(q). Пусть q′= r  s. Если t  q, то t(R) r, t(S)  s  tq′, т.е. q′ q. При q′ = q отношение разложимо без потерь на схемы R и S.

Свойство 8. Соотношение операций объединения и соединения.

Пусть r и r – отношения со схемой R и s – отношение со схемой S. Покажем, что (rr)  s = (r  s)(r  s). Обозначим левую часть равенства как q  (rr)  s, а правую буквой q  (r  s)(r  s). Для кортежа tq найдутся кортежи t_r и t_s такие, что t = t_r  t_s, причем t_rr или t_rr и t_ss. Если t_rr, то t r  s, если же t_rr, то t r  s, то есть q  q. Чтобы установить включение q  q, выберем tq. Тогда trs или trs, следовательно, t (rr)  s. Включения q  q и q  q выполняются одновременно только в том случае, когда q = q.