36, 37 Каноническое разложение случайного процесса

Каноническим разложением случайного процесса называется разложение

(*), где - неслучайные функции,

M[V_k]=0 для любых k, M[V_i,V_j]=0 для i≠j …. Где V_k – центрированные попарно некоррелированные величины.

Сумма (*) может содержать конечное или счётное множество слагаемых, если счётное множество под суммой ряда (*) понимается как предел в среднеквадратичном. ,

Если случайный процесс X(t) представлен каноническим разложением (*), то его корреляционная функция записывается в виде: (**)

Это каноническое разложение корреляционной функции.

Приведём без доказательства следующий факт: из возможности канонического разложения вида (**)вытекает каноническое разложение случайного процесса Х(t) в виде (*).

Пусть случайный процесс X(t) представлен в виде , где U_k – коррелированны. Такое представление не является каноническим, и поэтому представление (**) для корреляционной функции будет несправедливо, но с помощью линейного преобразования можно привести к каноническому виду. Эта задача в общих чертах аналогична задаче приведения квадратичной формы к каноническому виду.

38.Спектральное разложение стационарного случайного процесса

df: Стационарный (в широком смысле) случайный процесс называется случайным процессом с дискретным спектром, если он представлен в виде: (*).

Где m_x – математическое ожидание случайного процесса х(t), ω_k=const>0, U_k,V_k- это случайные процессы, удовлетворяющие следующим условиям:

1. они должны быть центрированы, т.е. М[U_k]=M[V_k]=0 для любых k.

2. D[U_k]=D[V_k]=D_k>0=const для любых k

3. M(U_i U_j)= M(V_i V_j)=0 при i≠j

4. M(U_i V_j)=0 для любых i,j

Корреляционная функция стационарного процесса с дискретным спектром имеет вид: (**).

Найдём дисперсию стационарного случайного процесса с дискретным спектром:

df: Представления (*) и (**) называются спектральными разложениями соответственно случайного процесса и корреляционной функции.

Если , то разложение (**) представляет собой ряд Фурье по косинусам функции K_x(τ) на отрезке [-t;t].

Стационарные случайные процессы, рассматриваемые лишь на конечном промежутке t€[0;T], всегда могут быть представлены в виде спектральных разложений (*) и (**).