9. Понятие интегральной суммы.

Пусть на отрезке [a,b]  определена  вещественнозначная  функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка     — конечное множество попарно различных точек отрезка . Это разбиение делит отрезок[a,b] на n отрезков  . Длина наибольшего из отрезков  d = max(Δxi), называется  диаметром разбиения, где Δxi = xi − xi − 1.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке   .  Интегральной суммой называется выражение  .

10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла

Определенным интегралом от функции у= на называется конечный предел соответствующей интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений промежутка на части (noo) и стремлении длин всех частичных промежутков к нулю (хi 0)

если предел конечен и не зависит от разбиений и выбора точки

, где - подынтегральная функция.

-подынтегральное выражение.

а- нижний предел интегрирования.

в- верхний предел интегрирования.

d- длина наибольшего из отрезков разбиения.

Геометрический смысл интеграла - это площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , y=0, x=a, x=b, на [a, b].

11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.

Признак Римана (теоретически). Для существующего определённого интеграла необходимо и достаточно, чтобы

Функция Дирихле — функция  , принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число,

.

Функция Дирихле — пример функции не интегрируемой в смысле Римана.

12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

Основные свойства определенного интеграла.

,

, где c-const,

Определенный интеграл от ф-ий:

Адитивность определенного интеграла

Если , то

Монотонность определенного интеграла. если , то

Ограниченность.

Оценка определенного интеграла. Пусть f(х) интегрируема на [a,b], a<b, ,

Теорема о среднем: Если f(х) непрерывна на [a,b], то существует точка , такая что , где -среднее значение.

13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.

Основные свойства определенного интеграла.

,

, где c-const,

Определенный интеграл от ф-ий:

Адитивность определенного интеграла

• Монотонность определенного интеграла . если , то

• Ограниченность.

Оценка определенного интеграла. Пусть f(х) интегрируема на [a,b], a<b, ,

• Если , то

14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами

1.Пусть на отрезке и интегрируемая функция тогда, ; (аналогично, если на отрезке , то ).

2.Если функция интегрируема на , и , то .

3.Если функция интегрируема на , то тоже интегрируема на и имеет место следующее неравенство: .

БРЕЙСЯ! НЕТУ ГРАФИЧЕСКОЙ ИЛЛЮСТРАЦИИ! РИСУЙ САМ!