19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)

Для несобственного интеграла I рода

Теорема1. Первый признак сравнения:

Путь заданы две непрерывные функции f(x) и g(x), неотрицательные на [a,+∞) и 0<=f(x)<=g(x) x [a,+∞).

Тогда 1) если – сходится, то тоже сходится.

2) если - расходится, то - расходится.

Теорема2. Предельный признак сравнения.

Если существует предел , ( и ), то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся.

Для несобственного интеграла II рода

Терема3:

Пусть в левой(правой) окрестности точки b (точки а) определены неотрицательные функции f(x) и g(x), причем 0<=f(x)<=g(x).

Тогда 1) из сходимости н.и. 2 рода - сходится

2) из расходимости н.и. расходится

Теорема4. (Предельный признак сравнения) Пусть f(x) и g(x) неотрицательные, и g(x) 0 на промежутке [a,b), а в точке b функция терпит разрыв. Если существует , , то интегралы и одновременно сходятся или одновременно расходятся.

21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.

Если функция f(x) чётная на отрезке [-a;a], то

Если функция f(x) нечётная на отрезке [-a;a], то

22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.

Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение (2), что:

1. Любое решение (2) относительно y (для набора постоянных C₁, C₂, …, C_n из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1); 2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: (3) и получать общее решение в форме (4) решённой относительно неизвестной функции.

Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y(x) = e^x + x обращает уравнение : y⁽⁴⁾ – y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y⁽⁴⁾(x) = e^x; e^x –(e^x +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.

Задача Коши (задача с начальным условием). Пусть функция f(x, y) определена в области D, точка . Требуется найти решение уравнения ; (8) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀; (9) (начальное условие (9) часто записывают в форме ). Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x₀ существует единственное решение задачи ((8),(9)).