Пример. Ряд является условно сходящимся. Пусть – его сумма.

 Переставим слагаемые этого ряда следующим образом: выбираем по порядку сначала положительное слагаемое, затем два отрицательных и т. д. Получим ряд

Для вычисления суммы этого ряда сгруппируем его слагаемые по три:

Таким образом, после пераставления слагаемых изменилась сумма ряда. 

Имеет место

Теорема 3. (Римана) Если ряд является условно сходящимся, то каким бы ни было число , можно так пераставить слагаемые ряда, что полученный ряд будет иметь сумму , или даже может стать расходящимся.

§6.5. Функциональные последовательности и функциональные ряды. Равномерная сходимость.

Если членами последовательности или ряда являются функции , определённые на множестве , то тогда говорят о функциональных последовательностях и функциональных рядах . При фиксированном значении имеем числовую последовательность и соответственно числовой ряд .

def. Если существуют функции и : , то говорят, что функциональная последовательность и функциональный ряд сходятся в точке . Множество называется областью сходимости функциональной последовательности или функционального ряда, а функции и , определённые на , называются соответственно предельной функцией функциональнай последовательности и суммой функционального ряда.

Таким образом, функциональная последовательность сходится на множестве к функции , если:

. (1)

Функциональный ряд сходится на множестве к функции , если последовательность частичных сумм , т.е.:

. (2))

Переход к пределу может существенно изменить свойства допредельных функций.

Пример 1. .

 Здесь , . Предельная функция разрывная, хотя функции – непрерывные на . 

Пример 2. .

 Здесь . При . При , поэтому ряд сходится как геометрический, а его сумма равна .

Сумма ряда из непрерывных функций – разрывная. 

Таким образом, вообще говоря, .

Тем не менее такое равенство верное при сходимости особого типа.

def. Говорят, что функциональная последовательность сходится равномерно к функции на множестве ( абозначают ), если

. (3)

.

Из определения сходимости и равномерной сходимости функциональной последовательности следует, что равномерно сходящаяся на функциональная последовательность является просто сходящейся на . Обратное утверждение, вообще говоря, неверное.

Пример 3. .

 Поскольку , то – предельная функция.

Покажем, что 0. Понятно, что . Поскольку , то

, откуда , что означает равномерную сходимость последовательности на отрезке . 

Пример 4.

 Здесь тоже предельная функция . Покажем, что 0, т.е. .Возьмем . Откуда имеем – сходимость неравномерная. 

Теорема 1. (Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности) Для того чтобы функциональная последовательность была равномерно сходящейся на множестве , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

. (4)

□ (Необходимость) Пусть , т.е.имеет место условие (3)

.

Если , то тем более выполняется неравенство . Тогда

Это означает выполнение условия Коши ( – лемма).

(Достаточноть) Пусть для последовательности выполняется условие Коши (4). Если , то числовая последовательность соответствует условию Коши (4) и, согласно критерию Коши для числовой последовательности существует конечный . Таким образом, на множестве определена предельная функция для последовательности .

Если в неравенстве (4) зафиксировать и перейти к пределу при , (при этом ), то получим

,

т.е. последовательность равномерно сходится на . ■

def. Функциональный ряд называют равномерно сходящмся на (или РСФР) к сумме (абозначают ), если последовательность его частичных сумм является равномерно сходящейся на , т.е.

. (5)