2°.Свойства степенных рядов. Теорема 3. Степенной ряд сходится равномерно на каждом отрезке, который полностью содержится в его интервале сходимости.

□ Пусть , где – радиус сходимости ряда (1). Выберем отрезок такой, что . Докажем, что ряд (1) равномерно сходится на отрезке , откуда будет следовать его равномерная сходимость на отрезке . Для этого возьмем произвольную точку . Поскольку , то числовой ряд сходится абсолютно. Если взять , то , а поэтому в соответствии признаком Вейерштрасса ряд (1) сходится равномерно на , а значит, и на . ■

Теорема 4. ( Непрерывность суммы степенного ряда ) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией на его интервале сходимости.

□ Пусть – радиус сходимости степенного ряда (1). Возьмем . Выберем далее отрезок : . На основании теоремы 3 ряд (1) равномерно сходится на . Поскольку члены ряда (1) – непрерывные функции, то, по Теореме 1 (Стокса-Зайдэля §6.6.) сумма ряда (1) является непрерывной функцией на отрезке , а по причине произвольности точки также на интервале . ■

Теорема 5. (Почленное интегрирование степенного ряда) Степенной ряд (1), сходящийся на интервале к сумме , можно почленно интегрировать на каждом отрезке , т.Е. Имеет место равенство

, (7)

причём последний ряд имеет тот же самый интервал сходимости .

□ Возьмём произвольное значение . Поскольку отрезок , то, в соответствии с Теоремой 3, ряд (1) равномерно сходится на отрезке . Тогда по Теореме 2 §6.6. о почленном интегрировании РСФР ряд (1) можно почленно интегрировать на отрезке , т.е. имеют место равенства (7).

Если – радиус сходимости ряда (1), то . Вычислим радиус сходимости ряда из (7). Имеем .■

Теорема 6. (Почленное дифференцирование степенного ряда) На интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. При этом имеет место равенство

, (8)

причём последний ряд имеет тот же самый интервал сходимости .

□ Покажем, что степенной ряд , (9)

полученный из ряда (1) почленным дифференцированием, имеет тот же интервал сходимости , что и ряд (1). Действительно,

.

Отсюда, в соответствии с формулой Коши (6), следует, что ряды (1) и (9) имеют одинаковые радиусы сходимости, а тем самым одинаковые интервалы сходимости.

Пусть – произвольная точка из интервала сходимости ряда (1). Выберем отрезок таким образом, чтобы . По теореме 3 ряд (9) сходится равномерно на отрезке , и, согласно Теореме 3 §6.6. о почленном дифференцировании РСФР ряд (1) можно почленно дифференцировать на отрезке и, в частности, в точке . Из произвольности точки следует, что ряд (1) можно почленно дифференцировать на интервале сходимости.

Согласно доказанному, степенной ряд (9) снова можно почленно дифференцировать. Повторяя многократно эти рассуждения, приходим к выводу, что степенной ряд (1) можно дифференцировать почленно любое количество раз на интервале сходимости. ■