35. Закон инерции квадратичных форм.

Любую квадратичную форму невырожденным преобразованием X=PY можно привести к эквивалентной ей форме вида . Это выражение называется каноническим видом квадратичной формы (оно не содержит попарных произведений переменных), а числа – ее каноническими коэффициентами. Закон инерции. Независимо от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду число ее положительных (отрицательных) канонических коэффициентов постоянно.

36. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм.

Пусть матрица A квадратичной формы имеет вид: , где (асимметричная матрица). Определители , …, называются угловыми или главными минорами матрицы A.

Критерий Сильвестра. 1. Для того чтобы КФ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы A были положительными, т. е. 2. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки последовательных угловых миноров ее матрицы A чередовались, начиная со знака минус.

37. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку.

Рассмотрим в пространстве плоскость α. Ее положение вполне определяется заданием вектора , перпендикулярного данной плоскости, и некоторой фиксированной точкой, принадлежащей плоскости α. Вектор , перпендикулярный плоскости α, называется вектором нормали этой плоскости. Обозначим через А, В и С координаты, тогда вектор можно разложить по базису i, j, k: . Выведем уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей нормальный вектор . Для этого возьмем произвольную точку М. Рассмотрим . Скалярное произведение (сумма попарных произведений соответствующих координат) этих векторов равно 0. (1). Из построения: уравнение (1) примет вид Это – векторное уравнение плоскости. В координатном виде Уравнение плоскости в координатной форме:

38. Общее уравнение плоскости и его исследование.

Рассмотрим уравнение . Раскроем скобки и преобразуем полученное выражение: ; ; – общее уравнение плоскости. Рассмотрим зависимость положения плоскости от коэффициентов. 1) A=0; By+Cz+D=0 => α‖0x; B=0: Ax+Cz+D=0 => α‖0y; C=0: Ax+By+D=0 => α‖0z. 2) D=0: плоскость проходит через начало координат. 3) A=B=0 => Cz+D=0 => , α‖x0y. C=B=0 => Ax+D=0 => , α‖y0z. A=C=0 => By+D=0 => , α‖x0z. 4) A=B=D=0: Cz=0 => z=0 – плоскость x0y. A=C=D=0: By=0 => y=0 – x0z. B=C=D=0: Ax=0 => x=0 – y0z. Уравнение плоскости в отрезках: , где a, b, с – отрезки, отсекающие плоскость на координатных осях.

39. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть даны три точки: Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки: .

40. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности.

Пусть даны плоскости и . . Под углом между двумя плоскостями понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями: . . Условие перпендикулярности: если В векторной форме: В координатной форме: Условие параллельности: если , то => (в векторной форме), (в координатной форме).