36. Неравенство Чебышева и лемма Маркова.

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно достаточно груба. Однако, она позволяет получить определенное представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

Формулировка

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание конечно. Тогда

,

где a > 0.

Пример

Пусть — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв a = 1, получаем

.

Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

37. Обобщенная теорма Чебышева

При неограниченном увеличении числа независмых испытаний над случайными велечинами, имеющими ограниченные диспесии, среднее арифметическое набдюдаемых значений сходятся по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий этих велечин.

38.Теорема Бернули

Теорема Бернулли в теории вероятностей утверждает, что при многократном повторении случайного эксперимента с двумя исходами относительная частота успехов приближается к вероятности успеха в одном испытании.

39. Теорема Пуссона

теорема теории вероятностей, описывающая поведение частоты появления некоторого события в последовательности независимых испытаний — частный случай закона больших чисел (точную формулировку см. в ст. Больших чисел закон). 2) Одна из предельных теорем теории вероятностей. П. т. позволяет приближённо оценивать вероятность данного числа появлений маловероятного события при большом числе независимых испытаний (см. Пуассона распределение).

  Обе теоремы установлены С. Д. Пуассоном в 1837.

40. Закон больших чисел

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти наверняка.

41. Варационный ряд и полигон частот

Вариационный ряд.

Результаты измерений, опытов и т.д (в математической статистике здесь употребляют слово выборка ) являются труднообозримым набором данных. Для дальнейшего изучения выборку подвергают перегруппировке.

Вариационным рядом называется последовательность всех элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке. Одинаковые элементы повторяются.

По этому ряду уже можно сделать несколько выводов. Например, средний элемент вариационного ряда (медиана) может быть оценкой наиболее вероятного результата измерения. Первый и последний элемент вариационного ряда (т.е. минимальный и максимальный элемент выборки) показывают разброс элементов выборки. Иногда если первый или последний элемент сильно отличаются от остальных элементов выборки, то их исключают из результатов измерений, считая, что эти значения получены в результате какого-то грубого сбоя, например, техники.