47. Теоремы Чебышева-Ляпунова для средней и для доли Теорема Чебышева

            Теорема. Если Х₁, Х₂, …, Х_n- попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышаю постоянного числа С), то, как бы мало не было положительное число e, вероятность неравенства

будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

 

            Т.е. можно записать:

             Часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. В этом случае теорема Чебышева несколько упрощается:

            Дробь, входящая в записанное выше выражение есть не что иное как среднее арифметическое возможных значений случайной величины.

            Теорема утверждает, что хотя каждое отдельное значение случайной величины может достаточно сильно отличаться от своего математического ожидания, но среднее арифметическое этих значений будет неограниченно приближаться к среднему арифметическому математических ожиданий.

            Отклоняясь от математического ожидания как в положительную так и в отрицательную сторону, от своего математического ожидания, в среднем арифметическом отклонения взаимно сокращаются.

            Таким образом, величина среднего арифметического значений случайной величины уже теряет характер случайности.

48. Типы критических областей и правило их выбора Типы критической области

Обозначим через значение, которое находится из уравнения , где  — функция распределения статистики  . Если функция распределения непрерывная строго монотонная, то есть обратная к ней функция:

.

Значение называется также -квантилем распределения  .

На практике, как правило, используются статистики  с унимодальной (имеющей форму пика) плотностью распределения. Критические области (наименее вероятные значения статистики) соответствуют «хвостам» этого распределения. Поэтому чаще всего возникают критические области одного из трёх типов:

• Левосторонняя критическая область:

определяется интервалом .

пи-величина:

• Правосторонняя критическая область:

определяется интервалом .

пи-величина:

• Двусторонняя критическая область:

определяется двумя интервалами

пи-величина:

49 Метод наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов (МНК). Задача заключается в нахождении коэффициентов линейной зависимости, при которых функция двух переменных а и b принимает наименьшее значение. То есть, при данных а и b сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от найденной прямой будет наименьшей. В этом вся суть метода наименьших квадратов. Таким образом, решение примера сводится к нахождению экстремума функции двух переменных. Вывод формул для нахождения коэффициентов. Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю. Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК). При данных а и b функция принимает наименьшее значение. Доказательство этого факта приведено ниже по тексту в конце страницы . Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра a содержит суммы , , , и параметр n - количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент b находится после вычисления a. Пришло время вспомнить про исходый пример.