Пространственный и косой изгиб

Задача 7.2.1: При данном нагружении стержня (сила F лежит в плоскости xoy) максимальные нормальные напряжения возникают в точке…

1) D; 2) A; 3) C; 4) B.

Решение:

1) Ответ неверный! В точке D возникают минимальные нормальные напряжения.

2) Ответ неверный! От изгибающего момента  в точке А возникает деформация растяжения, а от момента  – деформация сжатия. Поэтому, в точке А напряжения меньше, чем в точке B и D.

3) Ответ неверный! От изгибающего момента в точке С возникает деформация сжатие, а от момента  – растяжение. Точка С менее опасная, чем точки В и D.

4) Ответ верный. Раскладываем силу F на составляющие по главным центральным осям  и . В сечении, вблизи заделки, от сил  и  возникают изгибающие моменты  и . Направление моментов показано на рисунке а. От изгибающего момента  верхняя часть стержня работает на растяжение, а нижняя – на сжатие. Знаки на рисунке б от момента  показаны в кружочке. От момента  правая половина сечения испытывает растяжение, левая – сжатие (знаки без кружка). Видно, что максимальные нормальные напряжения возникают в точке В. В точке D – минимальные нормальные напряжения.

Задача 7.2.2: Изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает с главной осью сечения, называют__________ изгибом.

1) чистым; 2) поперечным; 3) плоским; 4) косым.

Решение:

1) Ответ неверный! При чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один внутренний силовой фактор – изгибающий момент, плоскость действия которого проходит через одну из главных осей сечения.

2) Ответ неверный! Поперечным называют изгиб, если в поперечном сечении стержня возникает два внутренних силовых фактора – поперечная сила и изгибающий момент.

3) Ответ неверный! Изгиб стержня в одной из главных плоскостей называют плоским изгибом.

4) Ответ верный. Рассмотрим поперечное сечение стержня. Пусть оси  и  являются главными центральными осями сечения. Изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает с главными осями сечения, называют косым изгибом.

Задача 7.2.3: Стержень прямоугольного сечения с размерами  нагружен как показано на схеме. Сила F, размеры b, l  заданы. Сила F лежит в плоскости XOY. Значение нормального напряжения в точке В равно …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Выражения изгибающих моментов в сечении, где находится точка В, составлены неверно. В данном случае имеем

2) Ответ неверный! Допущена арифметическая ошибка на последнем этапе расчета.

3) Ответ неверный! Допущена ошибка в знаках при определении нормального напряжения. Изгибающий момент  в точке В вызывает деформацию сжатия.

4) Ответ верный. Нормальное напряжение в точке В определяется суммой напряжений, обусловленных изгибающими моментами , , возникающими в сечении, где расположена точка. Следовательно, где  − осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей;  − координаты точки В в системе главных центральных осей по абсолютной величине. Знак «минус» показывает, что от действия изгибающего момента  в точке В возникает нормальное сжимающее напряжение. В данном случае Подставляя данные выражения в формулу, получаем .

Задача 7.2.4: Представлены эпюры распределения нормальных напряжений в поперечном сечении стержня. Косому изгибу при заданном нагружении стержня соответствует эпюра…

1) 3; 2) 4; 3) 1; 4) 2.

Решение:

1) Ответ верный. Из физического представления о процессе изгиба ясно, что верхние слои стержня будут растягиваться, а нижние – сжиматься. Кроме того, при косом изгибе нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Поэтому верным является 3 вариант.

2) Ответ неверный! Обратите внимание на то, что верхние слои стержня работают на растяжение.

3) Ответ неверный! Вспомните определение нейтральной линии.

4) Ответ неверный! Вспомните, как располагается нейтральная линия в поперечном сечении стержня при косом изгибе.

Тема: Пространственный и косой изгиб Стержень нагружен силой F, которая расположена над углом   к вертикальной оси симметрии и лежит в плоскости сечения. Линейные размеры b и lзаданы. Нормальное напряжение в точке В сечения I–I равно … 

Решение: Стержень работает при косом изгибе. Определим изгибающие моменты в сечении I–I    От изгибающего момента   верхняя половина сечения работает на растяжение, нижняя – на сжатие. От изгибающего момента   правая половина испытывает растяжение, левая – сжатие. Воспользуемся формулой для определения нормального напряжения в произвольной точке сечения при косом изгибе  где x, y – координаты точки, в которой определяется нормальное напряжение в системе главных центральных осей, взятые по абсолютной величине; ,   – осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей. Учитывая, что     и знак напряжения, найдем  где  После вычислений 

Тема: Пространственный и косой изгиб Стержень квадратного сечения нагружен внешними силами F и 2F. Линейные размеры b и l = 10b заданы. Значение нормального напряжения в точке Вравно …

Решение: При косом изгибе нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяется по формуле где x, y – координаты точки в системе главных центральных осей, взятые по абсолютной величине; ,   – осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей; ,   – изгибающие моменты в том сечении, в котором определяется нормальное напряжение. Для поперечного сечения, в котором расположена точка В, имеем      С учетом знаков нормальных напряжений в точке В  имеем 

Тема: Пространственный и косой изгиб Стержень прямоугольного сечения с размерами  ,  , длиной   нагружен внешними силами. Материал стержня одинаково работает на растяжение и сжатие. Допускаемое напряжение для материала  . Из расчета на прочность по напряжениям значение силы F равно ____ Н.

			300
			360
			600
			240

Решение: Опасное сечение стержня расположено вблизи заделки. В данном сечении    Направления моментов показаны на рисунке. Следовательно, максимальные нормальные напряжения возникают в угловых точках I и III квадрантов. В угловой точке В первого квадранта будет растягивающее напряжение, в точке С третьего квадранта – сжимающее. При косом изгибе нормальное напряжение в точке с координатами x, y определяется по формуле  Учитывая, что   , найдем нормальное напряжение в точке В (точки В и С равноопасны): Составим условие прочности по допускаемым напряжениям Отсюда  После вычислений при заданных значениях b, h, l,   получим 

Тема: Пространственный и косой изгиб Стержень прямоугольного сечения с размерами b и 2b, длиной l нагружен моментом М.  Плоскость действия момента расположена под углом   к главным центральным осям сечения. Отношение значений нормальных напряжений в точках В и С равно …

			1
			2

Решение: При косом изгибе нормальное напряжение в точке поперечного сечения с координатами x, y определяется по формуле  В сечении, в котором расположены точки В и С, значения изгибающих моментов, соответственно, равны      Осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей  В точке В с координатами   нормальное напряжение  В точке С с координатами   нормальное напряжение  Следовательно, отношение 

Тема: Пространственный и косой изгиб Стержень прямоугольного сечения с размерами b и 2b, длиной l нагружен внешними силами F₁ и F₂. Значение нормального напряжения в точке В будет равно значению нормального напряжения в точке С, когда отношение   равно …

			2
			1
			3

Решение: Стержень работает на косой изгиб. Нормальное напряжение при косом изгибе в точке поперечного сечения с координатами x, y определяется по формуле  В сечении, где требуется определить нормальные напряжения в точках В и С, изгибающие моменты    Осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей  В точке В с координатами  , с учетом знака напряжения,  В точке С с координатами  , с учетом знака напряжения, Из условия равенства напряжений в точках В и С получим, что отношение