39)Мгновенный центр ускорений.
При непоступ.движ.
плоской фигуры в её плос-ти на фигуре
(или на связанной с ней подвиж. плос-ти)в
каждый момент времени имеется
точка,ускорение которой в этот момент
равно нулю.Эта мгновенным центром
ускорений точка наз-ся.
Док-во :Пусть нам известны ускорения
точки А,а также углов.скорость
и
углов.ускорение
фигуры(рис.120).Вычислим величину
из равенства
;проведем
под углом
к вектору
полупрямую,которая должна быть отклонена
от
в сторону вращения фигуры,если это
вращение ускоренное,и против вращения,если
оно замедленное.Отложим вдоль этой
прямой отрезок AQ,равный
:AQ=
.Точка
Q
и будет мгновенным центром ускорений.
40)Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращ.Вокруг неподвижной точки.
Скорости точек
тела:при
вращ.тела точка М будет описывать
окружность радиуса h
,плос-ть которой перпендикулярна оси
вращ.,а центр С лежит на самой оси.Если
за время
происходит
элементарный поворот тела на угол
,то
точка М при этом совершает вдоль своей
траектории элементарное перемещение
.Тогда
числовое значение скорости точки будет
равно отношению
к
.т.е.
или
.(1)
Скорость
в отличие от углов. скорости тела наз-ют
линейной или окружной скоростью точки
М.Т.о.,числовое значение скорости точки
вращающегося тв.тела равно произведению
углов. скорости тела на расстояние от
точки до оси вращения.
Ускорения точек
тела:для
нахождения ускорения точки М воспользуемся
формулами
,
.В
нашем случае
.Подставляя
значения
из равенства (1) в выр-я
и
,получим:
,
или
,
.(2)
Касательная
составляющая ускорения
направлена по касательной к траектории
;нормальная составляющая
всегда направлена по радиусу МС к оси
вращения.Полное ускорение точки М будет
или
.(3)
Формулы (1)-(3) позволяют опр-ть скорость и ускорение любой точки тела,если известен закон вращения тела и расстояние данной точки от оси вращ.
Векторы скорости
и ускорения точек тела:чтобы
найти выр-я непосредственно для векторов
и
,проведём из произвольной точки О оси
АВ радиус-вектор
точки М.Тогда h
и по формуле (1)
.
Т.о.,модуль векторного
произведения
равен модулю скорости точки М.Направления
векторов
и
тоже совпадают и размерности их одинаковы
.След-но,
,(4)
т.е. вектор скорости любой точки вращ-гося теле равен векторному произведению углов.скорости теле на радиус-вектор этой точки.Формулу (4) наз-ют формулой Эйлера.Беря от обеих частей равенства (4) производные по времени,получим
или
.(5)
Формула (5) опр-ет вектор ускорения любой точки вращ-гося тела.
41) Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек.
Твёрдое тело — это агрегатное состояние вещества, характеризующееся стабильностью формы и характером теплового движения атомов, которые совершают малые колебания около положений равновесия. Различают кристаллические и аморфные твердые тела. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы, а его движение является общим случаем движения твердого тела.
Задание движения свободного твердого тела.
Определим положение свободного твердого тела в неподвижной системе координат Oxyz следующим образом. Положение точки A тела, которую назовем полюсом, определим тремя ее координатами xA, yA, zA (рис102)
Точка A неподвижна
в базовой системе координат. Поэтому,
как и при сферическом движении, положение
треугольника ABC и тела в базовой системе
координат определим, например, тремя
углами Эйлера ψ, θ φ, которые определяют
ориентацию системы координат Ax1y1z1,
связанной с телом, в базовой системе
координат. Таким образом, мы задали
движение свободного твердого тела
шестью независимыми между собой
параметрами, число которых, естественно,
совпадает с числом степеней свободы.
При движении тела эти шесть параметров изменяются с течением времени: xA = xA(t), yA = yA(t), zA = zA(t), ψA = ψA(t), θA = θA(t), φA = φA(t) (1)
Выражения (1) являются кинематическими уравнениями движения свободного твердого тела. Первые три из них описывают движение полюса A и поступательное движение базовой системы координат. Три последних уравнения описывают сферическое движение тела в базовой системе координат.
То есть движение свободного твердого тела состоит из поступательного движения совместно с полюсом и сферического движения вокруг полюса, которое не зависит от поступательного движения.
Скорости и ускорения точек свободного твердого тела.
Определим положение точки B и полюса A в неподвижной системе координат радиус-векторами rB и rA. Положение точки B в базовой системе координат, двигающейся поступательно, определим радиус-вектором ρ. На рис. 103 мы видим, что
(2)
Дифференцируя по времени (2), учитывая формулу Эйлера, имеем (3)
где VBA - скорость
вращения точки B вокруг полюса A, равная
(4)
где ω - угловая
скорость вращения радиус-вектора ρ и
твердого тела в базовой, а, следовательно,
и в неподвижной системе координат.
Дифференцируя по времени выражение VB
= VA + ω ρ, получаем
(5)
где aBA - ускорение
вращения точки B вокруг полюса A; aεBA -
вращательное, а aωBA - осестремительное
ускорения вращения точки B вокруг полюса
A, которые выражаются так:
(6)
В выражении (6) ε - угловое ускорение твердого тела в базовой, а следовательно, и в неподвижной системе координат.
Так, мы получили векторные выражения скорости и ускорения точки B, которые можно применять для нахождения скоростей и ускорений любых точек свободного твердого тела. Эти выражения, естественно, показывают, что скорости и ускорения точек тела состоят из скоростей и ускорений поступательного движения совместно с полюсом и скоростей и ускорений вращения точек тела в сферическом движении вокруг полюса.
