49) Мгновенный центр ускорений.

Введем понятие мгновенного центра ускорений.

М гновенным центром ускорений для твердого тела в плоском движении является точка Q плоскости движения тела, ускорение которой в данное мгновение времени равно нулю.

Опуская доказательство существования мгновенного центра ускорений, сформулируем его свойства.

Ускорения точек тела в плоском движении распределены в данный момент времени, как при вращении тела вокруг мгновенного центра ускорений (вернее, вокруг оси вращения, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через точку Q).

Очевидно, что мгновенный центр ускорений перемещается в плоскости движения и не совпадает с мгновенным центром скоростей, иначе было бы просто вращение вокруг неподвижной оси.

Распределение ускорений показано на рис. 91, где точка M делает картину распределения более наглядной и, в принципе, не нужна. Ускорения точек равны

(12)

а величины касательных и нормальных ускорений в (12) выражены так:

(13)

Соответственно величины ускорений точек равны

(14)

Углы отклонения ускорений всех точек тела от направлений на мгновенный центр ускорений одинаковы и равны

(15)

Понятие о мгновенном центре ускорений удобно использовать при решении некоторых задач.

50) Определение ускорений точек плоской фигуры

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям Оxy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором где . Тогда

.

В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение , которое точка м получает при вращении фигуры вокруг полюса A. следовательно,

.

Значение , как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется как

где и - угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а - угол между вектором и отрезком МА (рис.41).

Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23).

Однако вычисление с помощью параллелограмма, изображен­ного на рис.23, усложняет расчет, так как предварительно надо бу­дет находить значение угла , а затем - угла между векторами и , Поэтому при решении задач удобнее вектор заменять его касательной и нормальной составляющими и пред­ставить в виде

.

При этом вектор направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор всегда направлен от точки М к полюсу А (рис.42). Численно же

.

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение мо­жно тоже представить как сумму касательной и нормальной составляющих, тогда

.

 

Рис.41 Рис.42

 

Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траекто­рия известна, то можно заменить суммой .