2.2 Основная задача и её применение

Основная задача о симедиане

Треугольник вписан в окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках и , пересекаются в точке . Докажите, что прямая содержит симедиану треугольника .

Доказательство:

Поскольку и – касательные, то точки (середина хорды ) и инверсны. Из задачи №2.1.1, следует, что прямая, содержащая симедиану треугольника проходит через точку , что и требовалось.

2.2.1 (Всероссийская олимпиада по математике 1995, 4 этап) В остроугольном треугольнике на высоте , как на диаметре, построена окружность , пересекающая стороны и в точках и соответственно. К окружности в точках и проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника , проведённую из вершины .

Доказательство:

Из основной задачи следует, что – симедиана в треугольнике . Тогда достаточно доказать, что антипараллель к (см. задачу №1.2.1).

Действительно, (это острые углы в двух прямоугольных треугольниках и с общим углом ), (четырехугольник – вписанный), значит , что и требовалось.

2.2.2 Две окружности пересекаются в точках и . Из произвольной точки первой окружности проводятся прямые и , повторно пересекающие вторую окружность в точках и соответственно. Докажите, что медианы треугольника , проведенные из вершины , проходят через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки

Доказательство:

Заметим, что четырехугольник вписанный. Из этого следует, что антипараллель к , поэтому медиана в треугольнике содержит симедиану треугольника (см. задачу №1.2.1). Из основной задачи, все симедианы треугольника проходят через (точку пересечения касательных к первой окружности, проведенных в точках и ). Точки и фиксированы, значит, точка также фиксирована, то есть все медианы треугольника проходят через .

2.2.3 Касательные, проведенные в точках и , к окружности, описанной около треугольника , пересекаются в точке . Из опущены перпендикуляры и на прямые и соответственно. Докажите, что прямая, содержащая медиану треугольника , перпендикулярна отрезку .