1 Способ:
Пусть
– медиана треугольника, следовательно,
–
биссектриса треугольника
.
Заметим, что
– биссектриса угла
(из задачи
№2.1.1).
Таким образом,
– инцентр в треугольнике
,
следовательно,
–
биссектриса угла
.
Также заметим, что
– медиана в треугольнике
,
а
– симедиана, следовательно,
.Таким
образом,
,
что
и требовалось.
2 Способ:
Заметим,
что четырехугольник
– гармонический. Из определения следует,
что
,
то есть
.
Таким
образом, биссектрисы противолежащих
углов
и
делят диагональ
в одинаковом отношении, следовательно,
пересекаются на этой диагонали.
Д)
Биссектрисы внешнего и внутреннего
углов при вершине
треугольника
пересекают прямую
в точках
и
.
Окружность с диаметром
пересекает
описанную окружность треугольника
в точках
и
.
Докажите, что
— симедиана треугольника
.
Доказательство:
1 Способ:
1)
Докажем, что
–
точка пересечения касательных к
окружности, описанной около треугольника
,
проведенных
в
точках
и
.
Заметим,
что
(Треугольник
–
равнобедренный). Таким образом,
.
По теореме об угле между касательной и
хордой,
–
касательная к окружности. Поскольку
треугольник
– равнобедренный, следовательно,
–
касательная к окружности, описанной
около треугольника
.
Что и требовалось.
Из
этого следует, что вписанный четырехугольник
соответствует конструкции из пункта
А).
Таким образом,
– симедиана в треугольнике
.
2 Способ:
Заметим,
что окружность, описанная вокруг
треугольника
– окружность Аполлония для точек
и
(её диаметр – отрезок с концами в точках
пересечения биссектрис внутреннего и
внешнего углов
и прямой
).
Точка
принадлежит
данной окружности, следовательно,
,
то есть
– биссектриса
угла
.
Таким образом, четырехугольник
–
гармонический
(см. пункт
Г).
Из этого следует, что
–
симедиана в треугольнике
.
3.3.2 Окружность проходит через точки и и касается прямой , окружность проходит через точки и и касается прямой . Докажите, что общая хорда этих окружностей является симедианой треугольника .
Комментарий: вернемся к задаче 1.4.1(А). Заметим, что данную задачу можно решать, используя понятие гармонического четырехугольника.
Доказательство:
1)
Докажем, что если продлить
до пересечения с окружностью, описанной
около треугольника
,
то
(см.
рис.).
Для
этого докажем, что
– вписанный. Пусть
,
тогда
(по теореме об угле между касательной
и хордой). Тогда
(он центральный для
),
что и требовалось.
Выразим
.
Угол
– прямой , значит
пересекает хорду
в середине.
2)
Докажем, что
– симедиана треугольника
Заметим,
что
.
Из
пункта
1)
следует, что
– медиана, значит
,
которая ей симметрична, – симедиана.
3)
Вписанный четырехугольник
является гармоническим (по лемме),
а значит,
–
симедиана в треугольнике
,
следовательно, общая хорда двух
окружностей является симедианой
треугольника
,
что и требовалось.
Заметим,
что было доказано следующее утверждение:
в
треугольнике
точка
удовлетворяет следующим условиям:
,
тогда
и только тогда, когда прямая
содержит
симедиану треугольника
.
3.3.3
Докажите,
что если из точки
(пересечения симедианы с описанной
окружностью треугольника
)
опустить перпендикуляры
,
и
на
прямые
,
и
соответственно, то
–
середина отрезка
.
Доказательство: