Вопрос 11.Непрерывность функции в точке и на отрезке.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и бесконечно малому приращению независимой переменной соответствует бесконечно малое приращение функции y, т. е. .

Также, если функция непрерывная, то предел от функции равен функции от предела независимой переменной, т. е. можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в окрестности этой точки и предел функции в этой точке равен значению функции в предельной точке, т. е. .

Определение 3. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и односторонние пределы функции в граничных точках равны значениям функции в этих точках, т. е. , .

Действия над непрерывными функциями

Теорема 1.11. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке также непрерывны следующие функции:

1) ;

2) ;

3) , где .

Непрерывность элементарных функций

1. Многочлен является непрерывной функцией, так как он образован с помощью алгебраических действий сложения и умножения непрерывных функций: постоянных коэффициентов и функции y = х (теорема 1.11)..

3. Докажем непрерывность функции y = lnx.

Найдем

.

Здесь был использован второй замечательный предел.

Аналогично можно доказать непрерывность других элементарных функций.

Вопрос 12.Свойства непрерывных функций

Свойство 1. Функция y = f(x) непрерывная на отрезке [a, b] принимает свое наибольшее M и наименьшее m значения на этом отрезке.

Свойство 2. Функция непрерывная на отрезке хотя бы один раз принимает любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями.

Свойство 3. Если непрерывная функция в граничных точках отрезка принимает значения противоположных знаков, то она на этом отрезке хотя бы один раз обращается в нуль.

Свойство 4. Если функция y = f(u) непрерывна в точке , а функция u = φ (u) непрерывна в точке , то сложная функция является непрерывной в точке .

Вопрос 13.Точки разрыва функций

Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если в этой точке функция не является непрерывной.

Определение 1. Точка называется устранимой точкой разрыва функции y = f(x), если существуют односторонние пределы функции в этой точке, равные между собой, но не равные значению функции в этой точке .

Определение 2. Точка называется точкой разрыва функции y = f(x) первого рода, если существуют односторонние пределы функции в этой точке, не равные между собой, т. е. (рис. 11, рис. 12).

Определение 3. Точка называется точкой разрыва функции y = f(x) второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода (рис. 13, рис. 14).

Вопрос14.Определение производной функции

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при , если этот предел существует (конечный или бесконечный), т. е.

.