Правила дифференцирования

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Таблица производных

1. .

2. . 2а. . 2б. . 2в. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. .

16. .

2.1.9. Производные высших порядков

Производной n-го порядка называется производная от производной

(n1)- го порядка.

Для того, чтобы найти производную n-го порядка функции , необходимо найти несколько производных (первого, второго, третьего порядка и т. д.), уяснить закономерность их образования в зависимости от порядка n и записать .

Пример 2.2. Найти производные n-го порядка для функций: , и .

1. .

2. , , , …, .

3. , , ,

= =

=

Вопрос 20. Эластичность функции

Определение. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению независимой переменной при , т. е.

.

Ввиду того, что эластичность можно записать в виде .

Функция называется эластичной, если , неэластичной, если и нейтральной, если .

2.1.11. Геометрический смысл эластичности

Ввиду того, что производная функции равняется тангенсу угла наклона касательной, формулу для вычисления эластичности можно преобразовать.

,

где АМ и ВМ – расстояния по касательной от точки касания до пересечения с осями координат Ох и Оy соответственно (рис. 19, рис. 20).

Эластичность функции в точке M (x, y) равна отношению расстояний по касательной от этой точки до осей координат Оy и Оx соответственно.

Если точки пересечения касательной в точке M (x, y) с осями координат лежат по одну сторону от этой точки, то эластичность функции в этой точке является положительной величиной. Если же точки пересечения касательной в точке M (x, y) с осями координат лежат по разные стороны от этой точки, то эластичность функции в этой точке является отрицательной величиной.

Рис. 19

Рис. 20

2.1.12. Экономический смысл эластичности

Приближенно можно записать

.

Если , то .

Эластичность определяет процент относительного изменения функции при изменении относительной величины независимой переменной на 1%.

2.1.13. Свойства эластичности функции

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции. Получим формулы для эластичности суммы, произведения, частного и обратной функции.

1. .

2. .

3. .

4. .

2.2. Дифференциал функции одной переменной

2.2.1. Определение дифференциала функции

Определение. Дифференциалом функции y = f(x) в точке при бесконечно малом приращении независимой переменной x называется бесконечно малая функция dy прямо пропорциональная x и отличающаяся от приращения функции y на бесконечно малую функцию (x) более высокого порядка малости по сравнению с x.

Так как , где , то дифференциал называют главной линейной частью приращения функции.