3.3. (1 Час) Момент импульса материальной точки и системы материальных точек. Момент силы. Закон сохранения и изменения момента импульса. Движение точки в центральном поле. Законы Кеплера.

Момент силы и момент импульса.

Рис.9

Моментом силы ( ) относительно неподвижной точки О (полюса) называется векторная величина , равная векторному произведению радиуса – вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы (рис.9), на вектор силы :

. (43)

Модуль момента силы:

, ; l – плечо силы. (43)

Если сил много, то

(44) результирующий момент равен геометрической (векторной) сумме моментов.

Моментом импульса (моментом качества движения) материальной точки относительно неподвижной точки О (полюса) называется вектор , равный векторному произведению радиуса – вектора , проведенного из полюса О в место нахождения материальной точки на вектор ее импульса:

(45) где m и - масса и скорость материальной точки. Модуль момента импульса материальной точки:

(46)

Момент импульса твердого тела можно получить, разбив твердое тело на n частиц, тогда:

- (47) момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси. и - связаны:

- (48) это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Имеет место также векторное равенство.

В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда . Это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Движение точки в центральном поле. Законы Кеплера.

Примером центральных полей являются: поле заряженного шара или точечного электрического заряда, гравитационное поле шара или материальной точки. При этом во всех точках поля векторы напряженности направлены вдоль прямых, пересекающихся в одной точке, неподвижной по отношению к какой либо инерциальной системе отсчета. Рассмотрим движение точки в центральном поле:

Рис.10

На расстоянии R (рис.10) на него действует сила . При перемещении тела на расстояние dR cовершается работа Знак «-» появился из-за противоположного направления силы и перемещения. Если тело перемещать от R₁ до R₂, то

. (49)

Из этой формулы видно, что работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т.е. силы тяготения являются консервативными, а поле тяготения – потенциальным. Работа совершаемая консервативными силами равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком «-», т.е.

(50)

Потенциальную энергию при принимают за 0, тогда Величина

называется потенциалом поля тяготения в данной точке. (51) φ – скалярная величина. Потенциал тела массой М в произвольной точке равен:

(52) отсюда следует, что эквипотенциальная поверхность вокруг точки массой М (или шара) является шаровой или сферической. Напряженность поля Через работу силы можно показать, что или

(53) или g=gradφ, т.е g направлено в сторону убывания потенциала, т.е. к тяготеющей массе. Космические скорости (для Земли):

- в направлении вращения Земли против Солнца.

Законы Кеплера:

1. Каждая из планет движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус – вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Лекция 5. 3.4. (1 час) Движение твердого тела. Динамика вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Момент инерции твердых тел разной формы. Теорема Штейнера. Главные оси инерции. Гироскопический эффект.* Кинетическая энергия вращающегося тела. Плоское движение твердого тела.

При описании вращательного движения твердых тел используется понятие момента инерции. Момент инерции тела – это мера инертности твердых тел при вращательном движении. Его роль такая же, что и при поступательном движении. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

(54)

В случае равномерного распределения масс эта сумма сводится к интегралу Интегрирование производится по всему телу. Величина r в этом случае есть положение точки в координатах x, y, z. Момент инерции есть величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси.

Рис.11

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на отдельные концентрические кольца бесконечно малой толщины dr c внутренним радиусом r и внешним (r+dr). Момент инерции каждого кольца . Объем кольца то и тогда момент инерции сплошного цилиндра будет: , здесь , тогда (55)

Примеры моментов инерции тел:

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящий через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

(56)

В любом теле существует три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями – они называются главными осями инерции тела. Вращение вокруг этих осей является наиболее устойчивым.

Рис.12

Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 или 2 (см.рис. 12).

Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы – массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.

Интересен гироскоп, вращающийся на кардановом подвесе. Благодаря этому ось гироскопа может принять любое положение в пространстве. Если такой гироскоп в виде дискообразного массивного тела привести во вращение с помощью намотанной на диск веревочки, а затем поворачивать его подставку в пространстве, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве. Гироскопический эффект: если на ось подействовать парой сил в одной плоскости, то повернется ось в перпендикулярной плоскости. Если сила кратковременная, то и поворот оси кратковременный. Если одна точка оси закреплена (например, волчок вращается на полу) тот ось начинает вращаться в поле силы тяжести Земли – прецессировать. Это явление носит название Ларморовая прецессия.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела выражается формулой:

(57) где - момент инерции, аналогичный при поступательном движении массы тела:

При плоском движении тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии (1) поступательного движения и энергии вращения (2):

(58) здесь первое слагаемое – (1), второе слагаемое – (2).

Лекция 6. 4. (2 – 3 часа) Колебательное движение. Уравнение свободных колебаний модельных систем (груз на пружине, математический и физический маятники. Применение модели гармонического осциллятора к колебаниям молекул.* Сложение колебаний. Затухающие колебания, их характеристики. Вынужденные колебания, явление резонанса. Понятие о колебаниях систем со многими степенями свободы. Нормальные колебания. Спектр колебаний, понятие о разложении Фурье.*

Колебательное движение. Колебательными называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др.

Колебательные процессы различной природы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Свободными (или собственными) называются колебания, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса (или косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, часто встречающиеся в природе и технике близки к гармоническим; 2) различные периодические процессы можно представить как наложение гармонических колебаний. Гармонические колебания описываются уравнением типа:

(59) где S –величина, совершающая гармонические колебания,

А – амплитуда колебаний,

- круговая (циклическая) частота,

аргумент косинуса - фаза колебаний, рад.

φ – начальная фаза,

где Т – период колебаний, с, - частота колебаний,

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

(60) решением этого уравнения является уравнение (59).

Механические гармонические колебания:

(61)

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания:

(62)

Потенциальная энергия:

(63)

Полная энергия:

(64) Полная энергия в процессе колебаний остается постоянной.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением: Колебания гармонического осциллятора являются важным примером гармонических колебаний и служат точкой или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой механики. Примерами гармонического осциллятора являются: пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур, а также колебания атомов и молекул в твердых телах, жидкостях и газах.

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упруго пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F=-kx, где k – жесткость пружины, , или . Решением этого уравнения является: Частота таких колебаний определяется: период Формула справедлива для упругих колебаний, в которых выполняется закон Гука. Максимальная потенциальная энергия

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс.

Рис.13

Вращающий момент М можно записать в виде:

(65)

Дифференциальное уравнение будет:

Решением этого уравнения является:

(66) здесь (67) (68) где - приведенная длина. Точка - центр качаний. Если маятник подвесить за эту точку, то период колебаний не изменится. Точки О и обладают свойством взаимозаменяемости.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m ,подвешенной на нерастяжимой и невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой нерастяжимой нити. Момент инерции период

. (69)

Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Сложение гармонических колебаний.

1) Если точка участвует в двух колебательных движениях одного направления, одинаковой частоты, но с разными амплитудами, то частота результирующего колебания останется прежней, а амплитуда будет зависеть от разности фаз ( ).

2) Для практики представляет особый интерес случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. Получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями. Пусть амплитуда складываемых колебаний равна А, а частоты равны и , причем >> .Пусть начальные фазы будут равны 0: Складывая эти выражения и учитывая, что << , найдем: . Результирующие колебания можно рассматривать как гармонические с частотой , а амплитуда меняется по периодическому закону . Частота биений в два раза больше частоты , т.е. ; .

Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.п.

Рис.14

Любые сложные периодические колебания можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся колебаний с различными амплитудами, различными начальными фазами, а также частотами, кратными, циклической частоте :

(70)

Такое представление сложного периодического колебания в виде спектра колебаний с различными частотами называется разложением Фурье. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами называют первой (или основной), второй, третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания.

На практике часто используется сложение нормальных или перпендикулярных колебаний. При этом в зависимости от амплитуды и разности фаз складываемых колебаний образуется результирующие колебания, различным образом поляризованные: эллиптически, линейно, циркулярно.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутые траектории, прочерчиваемые колеблющейся точкой в виде результирующих колебаний, образуют сложные фигуры, называемые фигурами Лиссажу – это так называемые колебания со многими степенями свободы.

Затухающие колебания – колебания с уменьшающейся амплитудой из-за потерь энергии, например, на трение. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:

(71) где S – колеблющаяся величина,

δ = const – коэффициент затухания,

- циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при δ=0.

При << решением этого уравнения будет:

. (72) где Промежуток времени τ = , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации. Логарифмический декремент затухания:

, (73) где τ – время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз,

- число колебаний за время τ.

Если затухание велико, то процесс называется апериодическим.

Колебания, которые происходят под действием внешней вынуждающей силы, которая периодически изменяется, называются вынужденными. Они происходят с частотой внешней вынуждающей силы.

Рис.15

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (ω) показана на рис 15. При - резонансной частоте наблюдается резкое увеличение амплитуды (А) вынужденных колебаний. Такое явление называется резонансом. Он может происходить при любых колебательных процессах. Резонансная частота:

. (74)

При резонансе собственная частота колебательной системы совпадает с частотой внешней вынуждающей силы.

Лекция 7. 5. (2 часа) Волны в упругих средах. Волновое уравнение. Уравнение монохроматической бегущей волны, основные характеристики волн. Продольные и поперечные волны, поляризация волн. Принцип суперпозиции волн. Явление интерференции. Поток плотности энергии, связанный с бегущей волной. Стоячие волны. Эффект Доплера.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). Частицы среды при этом не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Волны переносят энергию без переноса вещества. Следующие типы волн, встречающихся в природе: волны на поверхности жидкости, упругие и электромагнитные волны. Волны бывают продольные и поперечные (рис.16).

а) продольные б) поперечные

Рис.16

В жидкостях и газах возникают только продольные волны, а твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Рис.17

Уравнение бегущей волны (плоской):

, (75)

- начальная фаза,

- фаза,

. Здесь V – скорость распространения волны частотой ω или фазовая скорость. Волновая поверхность – поверхность до которой дошли колебания. Уравнение сферической волны:

(76)

Если в среде распространяются несколько волн, то они складываются и это называется принципом суперпозиции (наложения) волн. При этом каждая волна распространяется так же, как если бы других волн не было.

Волновым каналом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную скорость пространства. Скорость волнового пакета или групповая скорость – это скорость распространения максимума волнового пакета.

или , или

, или - для световых волн зависит от показателя преломления.

Явление интерференции – явление наложения волн от двух и более когерентных источников с образованием устойчивого во времени распределения амплитуд колебаний в пространстве (или, упрощенно, с образованием минимумов и максимумов колебаний). Когерентные волны – волны одинаковой частоты постоянной во времени разности фаз колебаний.

Рис.18

Амплитуда результирующей волны в точке А:

(77)

- разность хода волн;

Рис.19

условие максимумов колебаний. (78)

Между линиями максимумов находятся линии минимумов.

условие минимумов колебаний. (79)

m = 0, 1, 2, 3…

Для некогерентных волн результирующая амплитуда в точке меняется во времени, поэтому устойчивая картина не наблюдается, т.е. интерференция не происходит.

Стоячие волны.

Рис.20

Уравнения волн вдоль положительного и отрицательного (отраженной волны) направлений будут:

(80)

Получим после сложения: (81)

Пучности: Узлы: m = 0, 1, 2, 3…

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника относительно друг друга. Пример: изменения тона гудка поезда при его движении к нам и от нас. Рассматриваем на примере звука:

1) источник и приемник покоятся: и ;

2) приемник приближается к источнику: >0, =0, то

Частота увеличивается.

3) источник приближается к приемнику, >0, =0,

Частота увеличивается.

4) источник и приемник движутся относительно друг друга:

Верхний знак – сближение, нижний – удаление.

Интенсивностью волны называется величина:

- вектор плотности потока волны – вектор Умова. (82)

- объемная плотность энергии. (83)

Связь I и w:

Давление

Лекция 8. 6. (1 час) Элементы гидро- и аэродинамики. Движение идеальной жидкости, поле скоростей, линии и трубки тока. Уравнение Бернулли. Течение вязкой жидкости, формула Пуазейля. Ламинарные турбулентные потоки. Число Рейнольдса.

Свойства жидкостей и газов. (объяснить коротко) Сжимаемостью жидкости и газа во многих задачах можно пренебречь. Давление в жидкости и газе .

Закон Паскаля: давление в жидкости и газе передается одинаково по всем направлениям (при покоящейся среде).

Гидростатическое давление Выталкивающая сила (закон Архимеда)

Совокупность частиц движущейся жидкости называется потоком. Движение жидкости изображается линией тока.

Трубка тока жидкости ограничена линиями тока.

Рис.21

Уравнение неразрывности (84)

Идеальная жидкость – у нее отсутствует внутреннее трение.

Полная энергия будет складываться из и отсюда получим уравнение Бернулли:

или (85)

(86)

- полное давление.

Вязкость (внутреннее трение) – это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной из частей жидкости относительно другой.

Рис.22

На рис. 22 показаны два слоя, отстоящие друг от друга на расстоянии , движущиеся со скоростью и . Величина называется градиентом скорости. Сила внутреннего трения (закон Ньютона): (87) - динамическая вязкость,

Различают 1) ламинарное течение жидкости и 2) турбулентное. При 1) слои не перемешиваются, при 2) – перемешиваются. Характер течения зависит от безразмерной величины числа Рейнольдса: (88) ν – кинематическая вязкость. При малых <1300 – ламинарное течение. >10000 - турбулентное. Между 1300 и 10000 – переходное состояние.

Определение вязкости: 1) метод Стокса – с помощью шарика, падающего в жидкости, определяют скорость равномерного движения сферического тела (шарик) (r):

(89) и - плотности шарика и жидкости. Отсюда определяют η.

2) метод Пуазейля. Жидкость пропускают по круглой трубке длиной (l), определяют (R) трубки, давление ( ), действующее за время (t) и по формуле Пуазейля вычисляют вязкость жидкости:

(90)

Лекция 9. 7. (4 часа) Законы механики в движущихся системах отсчета. Обобщенный принцип относительности. Основные постулаты специальной теории относительности (СТО) Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Релятивистский закон сложения скоростей. Импульс и энергия точки в релятивистской механике. Энергия покоя. Закон сохранения полной энергии.

Принцип относительности Галилея устанавливает, что все законы механики выполняются одинаково во всех инерциальных, т.е. движущихся равномерно и прямолинейно, системах отсчета. Покоящаяся относительно Земли система отсчета – это также движущаяся, но с нулевой скоростью. -неподвижная система отсчета, - подвижная. Преобразования координат Галилея (перевод из подвижной в неподвижную):

Правило сложения скоростей

Ускорение

Постулаты (основные положения) специальной теории относительности (СТО).

1-й постулат (принцип относительности): Все законы природы, включая электромагнитные, выполняются одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

2-й постулат: Скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных систем отсчета. Она не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приемника светового сигнала.

Подтверждением 2-го постулата Эйнштейна является опыт Майкельсона- Морли, который они провели с помощью интерферометра.

Преобразования Лоренца. При скоростях подвижной системы отсчета сравнимых со скоростью света, а также тел, движущихся в этих системах, преобразования Галилея не действуют, а используются преобразования Лоренца. Это было открыто и использовано в специальной теории относительности (СТО), разработанной Эйнштейном.

Рис.23

Преобразования Лоренца имеют вид: при переходе от к , т.е. наблюдатель – в системе :

(91)

Из преобразований Лоренца вытекает, что при малых скоростях (V<<c), т.е. когда β<<1 они переходят в классически преобразования Галилея. В этом заключается принцип соответствия. Также пространственные и временные преобразования не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени – пространственные координаты. Т.е. в теории Эйнштейна рассматривается четырехмерное пространство – время , так называемый пространственно – временной континиум.

Основные результатытспециальной теории относительности (СТО).

Полная энергия свободной частицы, т.е. частицы, на которую не действуют силы:

(92)

При V = 0, т.е. когда частица покоится, ее энергия будет

- это энергия покоя. (93)

Полная энергия системы

(94)

- закон сохранения полной энергии. (95)

- кинетическая энергия. (96)