Лекция 10. II. Молекулярная физика и термодинамика.
1. Основные представления молекулярно – кинетической теории.
1.1. (1 час) Предмет и методы молекулярной физики. Статический и термодинамический подходы. Случайные величины и их описание. Плотность вероятности. Средние значения, флуктуации. Термодинамические параметры. Равновесные состояния и процессы.
Молекулярная физика – это раздел физики, в котором строение и свойства вещества изучаются исходя из молекулярно – кинетических представлений, которые основываются на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.
Законы поведения огромного числа молекул, являясь статистическими закономерностями, изучаются с помощью статистического метода. Этод метод основан на том, что свойства макроскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями динамических характеристик. Например, температура – есть мера средней кинетической энергии хаотического движения молекул. Сами же молекулы двигаются с различными скоростями. Термодинамика – раздел физики, в котором изучаются общие свойства макроскопических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими состояниями. Термодинамика не рассматривает микропроцессы, которые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический метод отличается от статистического.
Применение термодинамики очень широкое. Состояние термодинамической системы определяется термодинамическими характеристиками.
В молекулярно – кинетической теории используют статистические методы.
Для характеристики
степени возможности появления некоторого
события в математике вводится понятие
вероятности (w)
этого события. Вероятность осуществления
одного какого-либо события из N
возможных определяется:
.
Вероятность W
какого-либо состояния тела (или системы)
больше вероятности (w)
отдельного распределения в Р раз:
Величина
имеет смысл плотности
вероятности
,
т.е. определяет вероятность пребывания
частицы в данной точке пространства (в
элементе объема
).
Сумма плотности вероятности по всему
бесконечному пространству равна 1.
В системах, содержащих большое количество частиц, средние значения каких-либо параметров являются характеристиками таких систем. Однако, в небольших объемах, состоящих из небольшого количества частиц происходят значительные случайные отклонения параметров от их средних значений. Такие явления называются флуктуациями соответствующих величин. Флуктуациями, например, объясняется: броуновское движение, предел чувствительности приборов, электрические флуктуации в радиоаппаратуре – дробовой эффект (шумы).
Состояние системы
характеризуется термодинамическими
параметрами: температура (0С,
К), Т = 0К – нуль кельвин; давление, р, Па;
объем, V,
м3;
удельный объем:
.
Система находится в термодинамическом
равновесии, если ее состояние не меняется
с течением времени.
Идеальным называется газ, в котором: 1) объем всех молекул мал в сравнении с объемом сосуда, 2) между молекулами отсутствуют силы взаимодействия, 3) столкновения молекул являются абсолютно упругими.
Законы идеального газа.
1) 2) 3)
Рис.24
1) Закон Бойля-Мариотта.
(97)
При
изотермический процесс, график –
изотерма.
2) Закон Гей-Люссака.
(98)
изобарный процесс,
график – изобара.
3) Закон Шарля.
(99)
Изохорный
процесс,
график – изохора.
Закон
Авогадро:
;
.
Закон
Дальтона:
давление смеси газов равно сумме
парциальных давлений газов, входящих
в эту смесь:
(100)
Лекция 11. 1.2. (4 часа) Идеальный газ, как модельная термодинамическая система. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории идеального газа. Уравнение Менделеева-Клапейрона. Распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла) и в поле потенциальных сил (распределение Больцмана). Барометрическая формула. Атмосфера Земли и других планет.
Идеальный газ – см. П 1.1.
Уравнение Клапейрона:
или
(101)
где
- давление, Па;
- объем,
;
- абсолютная
температура, К.
Уравнение Менделеева-Клапейрона:
(102)
- количество вещества, моль;
или
;
к
– постоянная Больцмана
;
- число Авогадро
;
- число молекул в единице объема; из
(102)
пусть ν = 1, т.е. m
= M,
тогда
,
тогда
(103)
Основное уравнение МКТ (молекулярно- кинетической теории ) (без вывода).
(104)
- масса молекулы, n – число молекул в единице объема.
(105)
- связь
и
Средняя
скорость:
(106)
Наиболее
вероятная скорость:
Распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла).
Если разбить
диапазон скоростей молекул на малые
интервалы (
),
то на каждый интервал будет приходиться
некоторое число молекул
,
имеющих скорость, заключенную в этом
интервале
,
тогда
Рис.25
Применяя
методы теории вероятностей, Максвелл
нашел функцию
:
.
(107)
Функция
удовлетворяет условию нормировки
Скорость,
при которой функция распределения
молекул идеального газа максимальна,
называется
наиболее вероятной:
Из формулы вытекает, что максимум функции
распределения молекул по скоростям
смещается вправо при повышении
температуры. Однако площадь под кривой
остается одинаковой по условию нормировки.
Рис.26
Функция распределения молекул по скоростям теплового движения получается из формулы (107):
(108)
Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
Рис.27
На высоте
давление равно
,
т.е. оно увеличивается, и его можно
определить через вес воздуха, заключенного
в цилиндре высотой
.
Используя уравнение Менделеева-Клапейрона,
можно получить распределение Больцмана:
или
(109)
.
(110)
Прибор, с помощью которого по увеличению давления с высотой, определяют высоту над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром).
Для концентрации
молекул получается аналогичная формула:
.
(111)
Чем больше масса планеты солнечной системы, тем более мощная ее атмосфера. Малые планеты вообще не имеют атмосферы.
Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул.
При движении молекулы газа, она сталкивается с другими молекулами. Путь (λ), который проходит молекула между двумя последовательными столкновениями, называется средней длиной свободного пробега и определяется формулой:
(112)
Рис.28
«Путь» молекулы
лежит внутри «ломаного» цилиндра
радиусом (d).
Среднее число столкновений за 1 с равно
числу молекул в объеме «ломаного»
цилиндра :
или
.
При учете движения молекул
.
и
обратно пропорциональны друг другу.
1.3. (1-2 часа) Явление переноса: диффузия, внутреннее трение и теплопроводность.
К явлениям переноса относятся: теплопроводность (перенос энергии), диффузия (перенос массы) и внутреннее трение (перенос импульса). Для простоты ограничимся однокоординатной системой.
1. Теплопроводность: подчиняется закону Фурье:
(113)
где
- плотность теплового потока,
- коэффициент
теплопроводности,
- градиент
температуры. «-» показывает, что перенос
тепла (энергии) происходит в направлении
понижения температуры. Можно показать,
что
(114)
где
- удельная теплоемкость газа при
постоянном объеме.
2. Диффузия – это явление взаимного проникновения и перемешивания частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и, даже, твердых тел. Существует градиент плотности. Закон Фика:
(115)
где
- плотность потока массы,
D
– коэффициент диффузии,
- градиент плотности,
(для газов).
(116)
3. Внутреннее трение (вязкость). Физический смысл заключается в диффузии молекул и их обмену между соседними слоями, движущимися с различной скоростью, поэтому скорость медленного слоя увеличивается, а быстрого - уменьшается. Согласно закону Ньютона, сила внутреннего трения между двумя слоями:
(117)
η – динамическая вязкость,
Плотность потока
импульса:
(118)
(119)
Динамическая вязкость (η) вычисляется по формуле:
(120)
Закономерности (113), (115), (118) сходны между собой. Из приведенных формул вытекают зависимости:
(121)
(122)
Используя данные формулы, можно по найденным из опыта одним величинам определить другие.
Лекция 12. 2. Основы термодинамики.