3) Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина  , распределение которой   неизвестно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся   называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение  , то есть  , где   какой-то конкретный закон, называется простой.

Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения   к некоторому семейству распределений, то есть вида  , где   — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу  . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза  , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке   фиксированного объема   из распределения  . Впоследовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной Этапы проверки статистических гипотез

Формулировка основной гипотезы   и конкурирующей гипотезы  . Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.

Задание уровня значимости  , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.

Расчёт статистики   критерия такой, что:

её величина зависит от исходной выборки  ;

по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы  ;

сама статистика   должна подчиняться какому-то известному закону распределения, так как сама   является случайной в силу случайности  .

Построение критической области. Из области значений   выделяется подмножество   таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство  . Это множество   и называется критической областью.

Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику   и по попаданию (или непопаданию) в критическую область  выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы  .

[править]Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами  , где   находят из условий  .

Левосторонняя критическая область определяется интервалом  , где   находят из условия  .

III коррляционный анализ

Корреляционная зависимость.

Условимся обозначать через Х независимую переменную. а через У—зависимую переменную.

 Зависимость величины Y от Х называется функциональной. если каждому значению величины Х соответствует единственное значение величины У.

 Обратим внимание на то, что если Х—детерминированная величина (т. е. принимающая вполне определенные значения), то и функционально зависящая от нее величина У тоже является детерминированной; если же X— случайная величина, то и У также случайная величина.

Однако гораздо чаще в окружающем нас мире имеет место не функциональная, а

 стохастическая, или вероятностная, зависимость, когда каждому фиксированному значению независимой переменной Х соответствует не одно, а множество значений переменной У, причем сказать заранее, какое именно значение примет величина У, нельзя.

 Более частое появление такой зависимости объясняется действием на результирующую переменную не только контролируемого или контролируемых факторов (в данном случае таким контролируемым фактором является переменная X), а и многочисленных неконтролируемых случайных факторов. В этой ситуации переменная У является случайной величиной. Переменная же Хможет быть как детерминированной, так и случайной величиной.

 Если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то стохастическая зависимость называется корреляционной.

Приведем пример такой зависимости: пусть У – урожай зерна, Х – количество удобрений. С одинаковых по площади участков при равном количестве внесенных удобрений снимают разный урожай. Т.е. У не является функцией от Х. это объясняется влиянием случайных факторов: осадки, температура и т.п. Но опыт показывает что средний урожай является функцией от количества удобрений, У связан с Х корреляционной зависимостью: изменяя количество вносимых удобрений, изменяется и средний урожай, т.е. математическое ожидание величины У изменяется при изменении значения Х. Такое математическое ожидание называется условным и обозначается М( У/ Х= х) и читается: математическое ожидание СВУ при условии, что Х =х.

 Тогда можно считать: корреляционная зависимость имеет место, если при изменении х изменяется условное математическое ожидание У.

Аналогично вводится понятие условного математического ожидания для СВХ.

g(x) =М(У/Х=х) и f(y) = М(Х/У=у) – называются функциями регрессии, а линию на плоскости, соответствующую этому уравнению – линией регрессии соответственно У на Х и Х на У. Эта линия показывает, как в среднем зависит У от Х или Х от У. Выборочный коэффициент корреляции

Понятие корреляции является одним из основных понятий теории вероятностей и математической статистики, оно было введено Гальтоном и Пирсоном.

Закон природы или общественного развития может быть представлен описанием совокупности взаимосвязей. Если эти зависимости стохастичны, а анализ осуществляется по выборке из генеральной совокупности, то данная область исследования относится к задачам стохастического исследования зависимостей, которые включают в себя корреляционный, регрессионный, дисперсионный и ковариационный анализы. В данном разделе рассмотрена теснота статистической связи между анализируемыми переменными, т.е. задачи корреляционного анализа.

В качестве измерителей степени тесноты парных связей между количественными переменными используются коэффициент корреляции (или то же самое "коэффициент корреляции Пирсона") и корреляционное отношение.

Пусть при проведении некоторого опыта наблюдаются две случайные величины   и  , причем одно и то же значение   встречается   раз,   раз, одна и та же пара чисел (  наблюдается   раз. Все данные записываются в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Выборочная ковариация   величин   и   определяется формулой