2. Понятие предела функции

Существует несколько равносильных определений предела функции.

Понятие окрестности точки

Рассмотрим некоторую точку и произвольное число . Отметим на оси Ox точку и вправо и влево от нее отложим отрезки длиной Нетрудно сообразить, что концы интервала будут иметь значения и . Получим промежуток с центром в точке и диной

окрестностью точки называют открытый промежуток с центром в точке .

Если , то

или

или

.

Так как у функции две переменные (независимая x и зависимая y), то дадим аналогичное определение окрестности для некоторой точки А, расположенной на оси Oy.

Рассмотрим некоторую точку А и произвольное число . Отметим на оси Oy точку A и вправо и влево от нее отложим отрезки длиной Нетрудно сообразить, что концы интервала будут иметь значения и . Получим промежуток с центром в точке A и диной

окрестностью точки А называют открытый промежуток с центром в точке А.

Определение предела функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , везде, кроме, может быть, самой точки .

Число А называется пределом функции при стремлении x к , если для любого существует такое , что для всех x из окрестности точки соответствующие значения функции содержаться в окрестности точки А.

Предел функции обозначается: .

На языке определение предела функции может быть записано следующим образом:

Геометрическая интерпретация предела функции.

Отметим на оси Oy число А, а на оси Ox число , выделим окрестность точки А. График функции пересекает прямые , при этом проекции точек пересечения на ось Ox есть и . Выберем в качестве меньшую из разностей и . В нашем случае, .

Рис.

Нетрудно видеть, что если взять любое x из окрестности , то существующее значение обязательно будет принадлежать окрестности .

Замечание 1. В определении предела функции не требуется существование функции в самой точке . Значит, наличие или отсутствие предела при определяется поведение функции в окрестности точки .

Замечание 2. Если при переменная x принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь большие , и при этом функция стремиться к числу А, то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа

Замечание 3. Не для всякой функции существует предел . Например, функция не имеет предела при , т.к. ее значения при колеблются между числами .

Для получения теоретических результатов и для нахождения пределов функций укажем несколько основных теорем.

3. Основные теоремы о пределах

Теорема 4.8. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 4.9. Предел постоянной величины равен самой этой величине, т.е. , где С-const.

Теорема 4.10. (о пределе суммы, произведения и частного). Пусть f(x) и g(x)-функции, для которых существуют конечные пределы: и . Тогда имеют место формулы:

(4.1.)

(4.2)

если (4.3)

Замечание. Обратное неверно, т.е. из существования предела суммы, произведения или частного функций не следует существование пределов самих слагаемых, сомножителей или делителя и делимого. Например, но отсюда совсем не следует существование пределов

и . (Первый предел не существует).

Следствие 1. Формулы (4.1) и (4.2) справедливы для любого конечного числа слагаемых и множителей соответственно.

Следствие 2. Из формулы (4.2) и теоремы (4.9) следует, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Следствие 3. Предел степени равен степени предела, т.е.

Если в формуле (4.2) предположить, что перемножается одна и та же функция несколько раз, то получим это равенство.

.

Пример 4.2. Найти

Итак, решение предела свелось к обычной подстановке предельного значения аргумента в функцию, стоящую под знаком предела, т.е. вместо x подставили число 3. Такой способ вычисления предела функции применим, если точка входит в область определения функции.

Теорема 4.11. Если

Не всякий предел можно найти так просто. Иногда при вычислении пределов результат формальной подстановки в функцию предельного значения аргумента приводит к выражения вида и теоремы о пределах функций оставляют без внимания эти случаи. В этих случаях говорят, что имеет место неопределенность, а найти предел означает- раскрыть эту неопределенность. Существуют определенные методы для раскрытия неопределенностей, при этом важную роль играют функции, пределы которых раны либо нулю, либо бесконечности.