2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида:

,

, ,

линейное относительно неизвестной функции и всех ее производных , называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка (ЛОДУ).

Если , то уравнение называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью.

Если , то - уравнение называется линейным однородным.

Рассмотрим некоторые свойства ЛОДУ на примере уравнений второго порядка:

.

Теорема 8.1. Если функция является решением уравнения , то и функция , где С₁ – произвольная постоянная, так же будет являться решением этого уравнения.

Доказательство: Подставив функцию в уравнение, получаем:

является решением дифференциального уравнения 

Теорема 8.2. Если и являются решениями дифференциального уравнения , то их линейная комбинация , так же будет являться решением этого уравнения.

Замечание: Функция зависит, кроме x, от двух произвольных постоянных и если С₁ и С₂ для любых допустимых начальных условий определяются однозначно, то является общим решением дифференциального уравнения второго порядка. Доказано, что для выполнения этого требования функции и должны быть не просто частными решениями дифференциального уравнения, а отвечать специальным требованиям, для введения которых необходимо рассмотреть следующие определения.

Функции и называются линейно зависимыми на множестве D, если хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие, что .

Очевидно, что если и линейно зависимы, например , то , что означает пропорциональность и .

Функции и называются линейно независимыми в области D, если их линейная комбинация равна нулю для , только при условии, когда .

Если функции и дифференцируемы, то функциональный определитель вида:

называется определителем Вронского или вронскианом этих функций.

Теорема 8.3. Для того, чтобы функции были линейно независимы на множестве D, необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского не равнялся нулю на этом множестве.

Теорема 8.4. Теорема о структуре общего решения ЛОДУ второго порядка

Если и - два линейно независимые частные решения дифференциального уравнения , то функция , где С₁, С₂ – произвольные постоянные, является общим решением этого дифференциального уравнения.

Proof: Необходимо доказать два момента:

1) является решением дифференциального уравнения при любых С₁ и С₂;

2) для любых допустимых начальных условий

константы _С1 и _С2 определяются однозначно.

Первое требование доказано в Th 2.

Для доказательства второго требования составим систему линейных алгебраических уравнений

,

где - заданные числа, а неизвестными являются С₁ и С₂.

Система имеет единственное решение, когда её главный определитель не равен нулю, т.е. . Но  совпадает с определителем Вронского функций y₁ и y₂ при x=x₀, т.е. , а по условию теоремы _y1 и _y2 - линейно независимы и, объединяя информацию, получаем: ,

а значит С₁ и С₂ определяются из системы однозначно. 

Вывод: Совокупность функций будет общим решением уравнения , если являются линейно независимыми частными решениями этого дифференциального уравнения.

Замечание: Не существует общего метода нахождения частных решений уравнения , когда коэффициент переменные, но для случая, когда они являются константами, Эйлером создан очень удобный метод нахождения частных решений.