Геометрическая интерпретация устойчивости.

P­_4­, P­₅, P₆ – САУ устойчивая

P­_7­, P­₁, P₂ – САУ на границе устойчивости.

P­₃, P­₄, P₈– САУ неустойчивая

Мнимая ось определяет границу устойчивости. Левая полуплоскость - область устойчивости, правая полуплоскость - область неустойчивости.

Для того чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Устойчивость САУ можно определить с помощью алгебраических и частотных критериев.

Критерий Гурвица.

САУ будет устойчива, если при a₀>0 все определители матрицы Гурвица будут положительны.

Частные случаи критерия Гурвица.

n=1,2,3,4

1. n=1

При n=1 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2. n=2

1).

2).

3).

Необходимое и достаточное условие аналогично n=1.

3. n=3

1).

2).

3 ).

4).

При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов (а₁, а₂)было больше произведения крайних (а₀, а₃).

4. n=4

1).

2).

3).

4).

П ри n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

Критерий Гурвица удобно использовать при n<5. При n>5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса .

Критерий Рауса.

САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца матрицы Рауса.

Матрица:

Пример.

Характеристическое уравнение:

К частотным критериям относятся критерии: логарифмический, Михайлова, Найквиста.

Критерий Михайлова.

Характеристическое уравнение – это знаменатель передаточной функции.

Формулировка критерия Михайлова.

С АУ, описываемая уравнениями первого порядка будет устойчивой, если при изменении частоты характеристическая кривая (годограф Михайлова) повернется против часовой стрелки на угол не обращаясь в нуль.

n=2 I n=1

Im

n=2

устойчивая

II

Re

на границе IV

уст-ти n=4

не устойчивая

n=3 III

Другая формулировка критерия Михайлова.

САУ будет устойчивой, когда годограф Михайлова последовательно обойдет n квадрантов, где n – порядок системы.

Следствие из критерия Михайлова.

САУ будет устойчивой, если корни действительной и мнимой части перемежевываются.

Im Re Im

Корни чередуются, значит САУ

устойчивая

Re

Im Im Re Корни совпадают, значит САУ

на границе устойчивости.

Re

Re

Im

Im Im Re Неустойчивая САУ.

Im Re

Re

К ритерий Михайлова применяется для простых одноконтурных САУ.

Критерий Найквиста.

Имеется САУ:

1. Замкнутая система.

2. Разомкнутая система.

Разомкнутая система неустойчива и количество положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы равно m.

Im

-1 Re

При анализе устойчивой системы, при неустойчивой разомкнутой системе будем считать положительным направлением годографа – против часовой стрелки. Отрицательным направлением годографа – почасовой стрелке, или снизу вверх при пересечении действительной оси. Тогда критерий Найквиста звучит так: если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет m положительных корней характеристического уравнения, то система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка действительной оси будет равна m/2.

Im Im

Re

-1 Re

Im

Re

-1

Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы хотя бы один раз пересечет точку (-1;0).

САУ будет устойчива, если годограф, соответствующей амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы охватывает точку (-1;0) m/2 раз.

m=0 Im Re -1

m=2 Im Re -1

m=3 Пполупереход означает, что АФХ либо начинается , либо заканчивается на действительном отрезке Im -1 Re Отрицательных переходов нет система устойчивая

или Im Re -1

Пример.

Для критерия Михайлова составляем характеристическое уравнение

Im

Re

В качестве анализа рассматривается АФХ разомкнутой системы:

	Re	Im
0	-1	0
1	-1/2	-1/2
10	-1/101	-1/101
	-0	0

Im
Re

-1