19. Проверка гипотез о значении генеральной средней, при известной и неизвестной генеральной дисперсии. Вычисление мощности критерия.

1) известна

Пусть из генеральной совокупности, значения которой имеют нормальный закон распределения с неизвестным мат ожиданием и известной дисперсией Взята случайная выборка объемом n и пусть - выборочная средняя арифметическая, и - определенные значения параметра . Для проверки нулевой гипотезы H₀: , при альтернативной гипотезе H₁: используют статистику:

, которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное распределение N(0,1). Согласно требованию к критической области, при - ПКО, - ЛКО, - ДКО.

Границы критической области (t_кр) находят по таблице интегральной ф-ции Лапласа Ф(t) из условий:

ПКО и ЛКО => , ДКО

Тогда, если: => отвергается с вероятностью ошибки

=> гипотеза не противоречит опытным данным

Мощность критерия при заданной H₁:

, , = =

Значение определим из условия

= (1-2 )= => = , = = +

, где

2)неизвестна

Пусть и S² – среднее арифметическое и дисперсия выборки объемом n из нормальной ген. совокупности X с неизвестными параметрами и . Тогда для проверки нулевой гипотезы H₀: , при альтернативной H₁: использую статистику: , которая при выполнении гипотезы H₀ имеет распределения Стьюдента (t-распределение) с степенями свободы.

При - ПКО, - ЛКО, - ДКО.

Границы критической области (t_кр) определяют по таблице t-распределения для заданного уровня значимости и числа степеней свободы : :

ПКО, ЛКО(односторонняя критическая область) ,ДКО

Тогда, если: => отвергается с вероятностью ошибки

=> гипотеза не противоречит опытным данным

Мощность критерия (НАДО ВЫВЕСТИ)

, где

20. Проверка гипотез о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных совокупностей. ( это без лекций)

Пусть X и Y нормальные совокупности с известными дисперсиями и и неизвестными математическими ожиданиями и . Из генеральных совокупностей взяты две независимые выборки объемом и . Пусть и - средние арифметические выборочных совокупностей. Для проверки гипотезы H₀ : использую статистику:

Которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированный нормальный закон распределения.

При H₁: => ПКО =>

H₁: => ЛКО => H₁: => ДКО => Тогда, если: => отвергается с вероятностью ошибки => не противоречит опытным данным

Пусть X и Y нормальные совокупности с равными, но неизвестными дисперсиями и математическими ожиданиями и . Из этих совокупностей взяты две случайные независимые выборки с параметрами , и , . На уровне значимости проверяется гипотеза H₀ : . В основе критерия лежит статистика:

Которая при выполнении нулевой гипотезы H₀ имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. При заданном уровне значимости выбор критической области зависит от конкурирующей гипотезы:

H₁: - ПКО или H₁: -ЛКО =>

H₁: ДКО =>

Тогда, если: => отвергается с вероятностью ошибки => не противоречит опытным данным

НО! Прежде чем использовать этот критерий, нужно проверить его на применимость, проверив гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей.

Пусть Х и У – генеральные совокупности, значения признаков которых распределены по нормальному закону с дисперсиями и . Из этих совокупностей взяты две случайные независимые выборки, объемами n_x и n_y , и пусть и - исправленные выборочные дисперсии,

причем , где Требуется проверить H₀ : против альтернативной H₁ : . Основой критерия является статистика: , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора(F-распределение) с и степенями свободы.

Для проверки выбирают ПКО. Границу критической области определяют из условия:

Если => гипотеза не противоречит опытным данным Если => гипотеза отвергается