4. Интегрирование иррациональных функций.

1) Интегрирование дробей вида

Любой интеграл такого вида рационализируется с помощью подстановки

2) Интеграл

, тогда интеграл станет рациональной функцией

5, 1) Интегрирование правильных рациональных дробей m<n

Для интегрирования таких дробей многочлен стоящий в знаменателе разлагаем на действительные множители типа: х-а, или , причем множители второго типа не разложимы, тогда разложение

Теорема: всякую правильную рациональную дробь , разложен на множители в виде (1) можно представить в виде простых дробей в виде: Теорема утверждает, что разложение (2) возможно, но точных значений коэффициентов не даёт. Для практического нахождения этих коэффициентов можно поступить следующим образом:

1) Метод «неопределенных коэффициентов»

В разложении (2) дроби справа приводятся к общему знаменателю (такому же, как и слева), т.к. дроби слева и справа равны, при равных знаменателях, то должны быть равны и их числители, т.к. в числителях стоят многочлены степени не больше чем n-1 то получим n линейных алгебраических уравнений (приравнивая коэффициенты при равных степенях) для нахождения n неизвестных коэффициентов . После нахождения коэффициентов правильную рациональную дробь можно проинтегрировать как сумму простых дробей.

2) Метод «придания конкретного значения»

Задаём из которого возможно найти один из коэффициентов. Имеет смысл применять при наличии множителя первого типа

3) Комбинированный метод

Часть переменных находится по первому способу, часть по второму.

2) Интегрирование произвольных рациональных дробей

Всякая рациональная дробь, представленная в виде , причем, если , то дробь

не правильная, в этом случае необходимо выделить целую часть, после чего дробь

можно записать в виде: , т.о. образом рациональная дробь

интегрируется в любом случае в конечном виде, причем в результат войдут только

рациональные дроби, логарифмы и .

7.Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры.

Вычисление площадей.

а) и непрерывна, тогда площадь криволинейной трапеции

б) x=a, x=b и y=f(x), y=g(x); на [a,b]

Замечание :

в) Пусть кривая задана параметрическим уравнением.

В данном случае мы не знаем явного задания кривой, поэтому при вычислении площади делаем замену, что бы свести к известным формулам.

x(t)-убывает

Пример (Вычислить площадь фигуры)

Вычисление площади в полярной системе координат.

Если линия, ограничивающая фигуру, задана в полярной системе координат, то в качестве основной фигуры принимает криволинейный сектор, то есть фигуру ограниченную и графиком

Разобьем (а вместе с ним и весь сектор)на частичные сектора

Каждый частичный сектор заменим круговым сектором. То есть будем считать, что на каждом из частичных промежутков функция изменится мало и приблизительно равна

Приложения определенного интеграла: вычисление объемов

а) Вычисление объема тела по площадям поперечного сечения.

Рассмотрим тело(V), заключенное между плоскостями x=a, x=b.

Разобьем промежуток [a,b] на частичные промежутки, то есть тело разобьется на слои, параллельные плоскостям x=a, x=b.

Возьмем произвольную и через , обозначим площадь сечения тела V плоскостью . Сделаем следующие предположения:

1) При проецировании любых двух сечений друг на друга вдоль оси x, хотя бы одно из них проецируется на другое (внутрь другого).

2) Все сечения имеют в качестве площади непрерывную функцию f(x). Тогда объем слоя соответствует выделенному сечению, будет равен . Где - толщина слоя. Что бы получить объем всего тела, суммируем по слоям и перейдем к пределам.

б) Пусть на [a,b], непрерывна на замкнутой прямой. Вращением кривой y=f(x) получим, некоторое тело.

Полученное тело вращения будет подходить по рассматриваемый в a) случай. Т.к. сечение этого тела проецируется на перпендикулярную плоскость в виде кругов. Разбиваем [a,b] на частичные промежутки в каждом из которых, выбираем точку . Сечения этого тела плоскостями будут представлять собой круги радиуса . Поэтому суммируются по всем частям промежутка и переходя к пределу получаем, что

Приложения определенного интеграла: вычисление длины дуги

а) Пусть y=f(x)-непрерывная функция имеющая непрерывную производную и заданная на [a,b] .

Определение : Длиной дуги кривой назовем предел, к которому стремится вписанной к нему ломаной при неограниченном увеличении числа ее сторон и при стремлении наибольшей из ее сторон к 0.

Разобьем [a,b] на n-частей, где

Проведем через две последующие точки деления дуги хорды. Построим ломаную.

Длина ломаной Или, вынося за знак корня

С учетом формулы конечного приращения Лагранжа, согласно которой имеем , .

Формулу длины выражает интеграл суммы . Поэтому вся длина дуги вычисляется