18. Знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости

Знакочередующимся числовым рядом называется ряд

Абсолютная и условная сходимость

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если ряд   также сходится.  Если ряд   сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.  Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. 

19. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция  .

Равномерная сходимость

Существует функция   такая, что: 

Факт равномерной сходимости последовательности   к функции   записывается: 

20. Степенные ряды

Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀ − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию  . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

21.Формула Тейлора. Разложение в ряды элементарных функций

22. Применение рядов