17.2) Расчет разветвленных магнитных цепей на постоянном токе
18) Включение цепи r, l, с на постоянное напряжение (колебательный случай).
З аданы параметры цепи: R, L, C; напряжение U ; независимые начальные условия:
,
(1.41)
Требуется найти ток i и
напряжения , , . Составим интегродифференциальное уравнение равновесия напряжений в контуре
Для получения дифференциального уравнения выразим ток i через напряжение : ; (1.43)
Общее решение уравнения (1.43) имеет вид ; .
Свободная составляющая является общим решением однородного уравнения
Соответствующее характеристическое уравнение
или . (1.45)
Характеристическое уравнение (1.45) проще составить, записав для цепи комплексное входное сопротивление
.
При --
Приравняв к 0, получим характеристическое уравнение (1.45).
Корни уравнения (1.45)
, (1.46)
где – коэффициент затухания, – резонансная частота.
Решение однородного уравнения (1.44) зависит от вида корней и . Из (1.46) следует, что корни могут быть вещественными неравными ( ), вещественными равными ( ) и комплексно-сопряжёнными ( ).
Колебательный
случай: корни
(1.46) характеристического уравнения
комплексно-сопряжённые:
;
,
(1.55)
где
– частота собственных (свободных)
колебаний контура.
Выражения для и в этом случае можно вывести, воспользовавшись результатами, полученными ранее для апериодического процесса (1.53), (1.54).
После
подстановки
и
(1.55) в выражение (1.53) с учётом
:
.(1.56)
Используя формулы Эйлера для комплексных чисел, далее получим формулу
(1.57)
Дальнейшее
упрощение формулы (1.57) возможно, если
учесть геометрическую связь между
,
и
(1.55) (рис. 1.23):
;
;
,
Переходный
ток
найдём, воспользовавшись формулой
(1.56):
(1.59)
где
.
Переходное напряжение на индуктивности
.
(1.60)
Графики и представлены на рис. 1.24 а, б.
Для
характеристики скорости затухания
колебаний используют отношение
называемое декрементом затухания (от
англ. decrement
– уменьшение,
степень убыли), показывающее, во сколько
раз ток или напряжение уменьшаются за
период
(рис. 1.24 б):
. (1.61)
Натуральный
логарифм этого отношения называют
логарифмическим декрементом затухания:
.
(1.62)
Представив
в выражении (1.62)
и
через параметры цепи
и
,получим
формулу
где
– характеристическое сопротивление;
–
добротность контура.
Эта
формула показывает связь между
логарифмическим декрементом и
добротностью контура. Чем меньше потери
в контуре
и соответственно выше добротность
,
тем медленнее затухают колебания, т.е.
тем меньше
и
.
В предельном (теоретическом) случае
при
,
,
,
,
из формул (1.58) и (1.60) находим
,
,
.(1.64)
Таким
образом, сразу после коммутации в
контуре устанавливается стационарный
режим гармонических колебаний напряжений
и тока с частотой
,
при этом напряжение
изменяется в пределах от 0 до
.
В
практических задачах время колебательного
переходного процесса (в САР – время
регулирования) отсчитывают в тот момент,
когда разность между мгновенным
значением напряжения (или тока) и его
принуждённым (установившимся) значением
не превышает заданной малой величины,
обычно
(рис. 1.24 а). При этом
достаточно близко совпадает с затуханием
огибающей колебания
за время, равное
.
Найдём
число периодов свободных колебаний за
время
.
.
(1.65)
Формула
(1.65) справедлива при
,
что имеет место при
(при малых затуханиях) и даёт способ
оценки добротности контура с помощью
осциллограммы переходного процесса.
Практический
интерес представляет также максимальное
отклонение напряжения от установившегося
значения
(рис. 1.24 а). Обычно
выражают в процентах от
.
На рис. 1.24 а
.
В импульсной технике характеризует величину выброса фронта импульса, в САР – наибольшее перерегулирование.