18.2) Нелинейное сопротивление при гармоническом воздействии. Понятие о режиме малого и большого сигнала.
19.1)Расчёт переходных процессов операторным методом
Преобразование Лапласа и его свойства
Основой операторного метода является интегральное преобразование Лапласа
,
где
– вещественная функция времени
(напряжение или ток), удовлетворяющая
условиям, называемая оригиналом;
– функция комплексной переменной
(комплексной частоты)
,
называемая изображением по Лапласу.
Сокращённо формулу (2.1) (прямое
преобразование Лапласа функции
)
записывают в виде
.
Связь между
и
обозначают также, как
,
где «
»
– знак соответствия.
Что касается ограничений, налагаемых на условиями Дирихле, то реальные напряжения и токи им всегда удовлетворяют.
Найдём изображения для простейших функций времени (напряжений).
1.
;
.
Таким образом
.
2.
;
4.
,
(2.5)
откуда
;
.
5.
Рассмотрим два важных свойства преобразования Лапласа.
1). Теорема дифференцирования. Изображение первой производной функции равно изображению функции, умноженному на , минус значение функции при .
.
В
частном случае, когда
,
.
(2.11)
2).Теорема
интегрирования. Изображение интеграла
функции равно изображению этой функции,
делённому на
.
.
(2.12)
Изображения по Лапласу напряжений на резисторе, индуктивности и ёмкости
Н
айдём
изображения напряжений для простейших
цепей (рис. 2.1 а, б, в), используя
обозначения:
;
.
В цепи на рис. 2.1 а мгновенные напряжение и ток связаны законом Ома
,
и изображение имеет вид
.
Операторная схема замещения цепи рис. 2.1 а показана на рис. 2.2 а.
, где Z-комплексное сопротивление.
В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX:
Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС. На
р ис. 8.26 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая R,L,С и источник ЭДС е(t). Замыкание ключа К. в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток i=i(0_) и напряжение на конденсаторе Uс=Uc(0_). Запишем падение напряжения на участке цепи: Заменим на , на =>
Перейдём к изображениям:
Тогда падение примет вид: после преобр
-закон Ома в операторной форме
- комплексный корень характеристического уравнения
Данная запись закона справедлива для присутствия ЭДС в цепи и для ненулевых начальных условий.
- внутр ЭДС (запас энергии в магнитном поле катушки)
- внутр ЭДС (запас энергии в электрич поле кондёра)
- закон Ома в оперной форме для отсутсвия ЭДС и для нулевых начальных условий.
Первый закон Кирхгофа в операторной форме:
1) алгебраическая сумма мгновенных значений токовсходящихся в любом узле схемы , равна нулю:
, т.е. , а в операторной форме .
Второй закон Кирхгофа в операторной форме:
П редварительно выбираем направление обхода контура и направления токов в ветвях:Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура рис. 8.28. Контур обходим по часовой стрелке. Катушки включены согласно, но из-за того что токи в ветвях направлены в разные стороны появляется знак минус. Падение напряжения на равно ,на по аналогии.
На кондёре есть начальное напряжение примем его согласно току .
тогда получаем следующее уравнение:
Все слагаемые заменим операторными изображениями:
После преобразований запишем в свёрнутом виде:
где: В общем виде второй закон Кирхгофа в операторной форме следующий:
преобразования Лапласа позволяет упростить исходные функции времени, и особенно операции дифференцирования и интегрирования. В результате решение интегро-дифференциальных уравнений относительно оригиналов сводится к решению алгебраических уравнений относительно их изображений.
Отметим аналогию между операторным методом и комплексным методом расчёта цепей синусоидального тока. В обоих случаях операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (либо изображениями по Лапласу, либо комплексными числами