§ 4. Составные расширения

Пусть – множество чисел, не обязательно алгебраических над полем . Присоединим к полю число , затем к полю – число и т.д. В результате получим цепочку полей

,

в которой каждое поле, начиная с , является простым расширением соседнего предшествующего поля. Тогда поле при , называется составным расширением поля .

Заметим, что два соседних поля и могут и совпадать; это возможно тогда и только тогда, когда .

Теорема 1. Составное расширение является минимальным расширением поля , содержащим множество . Иначе говоря, является пересечением всех числовых полей, содержащих поле и множество .

□ Обозначим через пересечение всех числовых полей, содержащих подполе и множество . Требуется доказать, что . Включение очевидно. С другой стороны, так как и , то в силу минимальности простого расширения поля справедливо включение . Аналогично, так как и , то в силу минимальности простого расширения поля справедливо включение . Индукцией по легко доказывается и включение . Учитывая ранее отмеченное включение , получим требуемое равенство . ◘

Следствие. Составное расширение не зависит от порядка присоединения элементов . ◘

В дальнейшем, когда порядок присоединения элементов не имеет значения, мы будем обозначать составное расширение через или через .

Следующая теорема дает информацию о внутреннем строении составного расширения.

Теорема 2 (о строении составного расширения). Составное расширение есть множество чисел представимых в виде частного значений многочленов от переменных с коэффициентами из поля P от чисел , т.е.

. (1)

Обозначим через правую часть равенства (1). Это множество замкнуто относительно вычитания и деления на неравные нулю числа и, следовательно, является подполем поля . Нетрудно проверить, подбирая соответствующим образом многочлены и , что и . Но тогда в силу теоремы 1 справедливо включение .

С другой стороны, очевидно, что все числа из принадлежат полю , и, следовательно, . Следовательно, , что и требовалось доказать. ◘

§ 5. Составные алгебраические расширения.

Определение 1. Пусть в цепочке полей

каждое поле, начиная со второго, является простым алгебраическим расширением соседнего предшествующего ему поля. Тогда поле при любом натуральном значении называется составным алгебраическим расширением поля .

Подчеркнем, что в определении 1 предполагается алгебраичность числа над полем и алгебраичность числа над полем при . Алгебраичность же чисел над полем при определении не требуется, но в дальнейшем доказывается.

Теорема 1. Составное алгебраическое расширение является конечным расширением поля степени , где – степень числа над полем , – степень числа над полем , .

Доказательство вытекает из определения 1 и теоремы 1 § 3.

Следствие. Все элементы составного алгебраического расширения , и в частности, числа алгебраичны над полем .

Теорема 2. Всякое конечное расширение поля совпадает с некоторым составным алгебраическим расширением поля .

□ Пусть и система

один из базисов пространства над полем . Тогда . Действительно, включение вытекает из минимальности составного расширения (теорема 1 из § 4), а включение следует из того, что каждый элемент представим в виде

, ,

и, следовательно, принадлежит полю , как сумма произведений элементов этого поля. ◘

Выясним теперь внутреннее строение составного алгебраического расширения. Пусть – алгебраическое над полем число степени , а – алгебраическое над полем число степени. Тогда в силу теоремы 2 §3 система есть базис пространства над полем , а система – базис пространства над полем . Но отсюда на основании леммы 1 § 3 заключаем, что система

является базисом пространства над полем . Это значит, что любой элемент из составного алгебраического расширения единственным образом представим в виде , где – многочлен из кольца , степень которого по переменной меньше , а по переменной – меньше .

Этот результат индукцией по распространяется на любое составное алгебраическое расширение .

Теорема 3 (о строении составного алгебраического расширения). Все элементы составного алгебраического расширения представимы в виде значений многочленов из кольца от чисел , причем степень многочлена по переменной при любом не превосходит степени числа над полем (здесь предполагается, что ).

Пример. Найти общий вид элементов составного алгебраического расширения .

Имеем: – базис пространства над полем ;

– базис пространства над полем .

Значит, система – базис пространства над полем и, следовательно, .