§ 6. Простота составного алгебраического расширения.

Теорема 1. Любое составное алгебраическое расширение является простым, т.е. в нем существует такое число , что

Доказательство. Докажем Т₁ при , т.е. для . Так как и – оба алгебраические над полем , то в есть такие неприводимые многочлены и , что , . Пусть

– все корни многочлена .

– все корни многочлена .

В силу неприводимости все – различны; аналогично и (Т₂, §1). Рассмотрим элементы

(1)

Число их равно , т.е. конечно. Значит в (и даже в ) существует число , отличное от всех этих чисел. Положим

(

Ясно, что, и, следовательно, алгебраично над полем . Кроме того , Так как в противном случае имели бы

Так как , то (в силу лин. )

Рассмотрим многочлен

Это многочлен над полем , причем

,

т.е. – общий корень многочленов и .

Других общих корней многочлены и не имеют. Действительно, если бы , был общим корне и , то имели бы

откуда , , а это противоречит выбору .

Значит, тоже многочлен над полем . Но тогда и , и в силу минимальности получим

Таким образом и т.д.

Индукцией по Т₂ распространяется на любое поле

Замечание. Так как число можно выбрать бесконечным числом способов, то и чисел существует бесконечно много.

Пример. Найти такое число , что . Здесь минимальные многочлены: ,

Таким образом в обозначениях теоремы 1 имеем:

В качестве можно взять любое рациональное число, отличное от . Полагая, например, , получим ,

В заключение подведем некоторые итоги. Введем обозначение.

– класс всех простых алгебраических расширений поля ;

– класс конечных расширений поля ;

– класс составных алгебраических расширений этого поля.

В §3 доказано, что простое алгебраическое расширение является конечным, то есть Т₁ и Т₂ §5 вытекает, что . Наконец, только что доказанная теорема означает, что . Таким образом все три класса совпадают .

11