Содержание учебной дисциплины тема 1. Векторная алгебра.

Векторы. Сложение векторов, умножение вектора на число. Линейная зависимость векторов. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех векторов. Координаты вектора. Координаты точки. Преобразование системы координат. Вычисление площади треугольника, заданного координатами своих вершин.

Тема 2. Элементы аналитической геометрии.

Прямая в плоскости. Общее управление прямой. Управление прямой с угловым коэффициентом. Другие виды уравнений прямой. Пучок прямых. Нормальное уравнение прямой, расстояние от точки до прямой.

Плоскость. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Пучок и связка плоскостей. Нормальное уравнение плоскости и вычисление расстояния от точки до плоскости.

Прямая в пространстве. Общее уравнение прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

О кривых и поверхностях второго порядка. Общее уравнение кривой 2-го порядка и его приведение к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями: эллипс, гипербола, парабола, классификация поверхностей второго порядка.

Тема 3. Комплексные числа и многочлены.

Алгебраическая форма комплексного числа. Действия с комплексными числами. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах. Геометрическая интерпретация. Извлечение корня из комплексного числа и возведение в степень.

Понятие многочлена. Степень многочлена и ее свойства. Теорема о делении с остатком для многочленов. Алгоритм Евклида, теорема о наибольшем общем делителе многочленов. Теорема Безу. Схема Горнера. Корень многочлена, теорема о числе корней. Производная многочлена и ее свойства. Кратные корни и производная. Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена над полями комплексных и вещественных чисел. Простейшие дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших.

Тема 4. Матрицы и определители.

Понятие матрицы, виды матриц. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц. Транспонирование матрицы. Свойства операций над матрицами.

Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка.

Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования над строками матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Тема 5. Линейные пространства.

Понятие линейного пространства. Примеры конкретных линейных пространств (геометрическое пространство свободных векторов, пространство матриц , арифметическое n -мерное пространство и др.). Простейшие следствия и аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость элементов линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства, связь между ними. Преобразование координат при замене базиса. Изоморфизм линейных пространств. Подпространство линейного пространства. Линейные оболочки. Теоремы о размерности подпространства и линейной оболочки.

ТЕМА 6. Системы линейных уравнений.

Понятие системы линейных алгебраических уравнений и ее решений. Теорема Кронекера-Капелли. Системы "n" линейных уравнений с "n" неизвестными и их решение. Правило Крамера. Решение линейных систем с помощью обратной матрицы. Решение произвольных линейных систем. Метод Гаусса. Однородные системы линейных уравнений.

ТЕМА 7. Евклидовы и унитарные пространства.

Определение евклидова и унитарного пространства. Длина вектора, угол между векторами Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространств.

ТЕМА 8. Линейные операторы.

Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Обратный оператор. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора, их свойства. Характеристический многочлен оператора, теорема Гамильтона-Кэли. Сопряженный, симметричный, ортогональный операторы в евклидовом пространстве, их свойства

ТЕМА 9. Квадратичные формы.

Квадратичная форма конечного числа переменных и ее матрица. Связь квадратичной формы с самосопряженным оператором в евклидовом пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Необходимое и достаточное условия знакоопределенности квадратичной формы. Критерий Сильвестра